考向34抛物线（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向34抛物线1.（2022·全国乙（文）T6）设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF，则AB（）A.2B.22C.3D.32【答案】B【解析】由题意得，1,0F，则2AFBF，即点A到准线1x的距离为2，所以点A的横坐标为121，不妨设点A在x轴上方，代入得，1,2A，所以22310222AB.2.（2022·新高考Ⅰ卷T11）已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp上，过点(0,1)B的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为1yB.直线AB与C相切C.2|OPOQOAD.2||||||BPBQBA【答案】BCD【解析】将点A的代入抛物线方程得12p，所以抛物线方程为2xy，故准线方程为14y，A错误；1(1)210ABk，所以直线AB的方程为21yx，联立221yxxy，可得2210xx，解得1x，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为1ykx，1122(,),(,)PxyQxy，联立21ykxxy，得210xkx，所以21212Δ401kxxkxx，所以2k或2k，21212()1yyxx，又2221111||OPxyyy，2222222||OQxyyy，所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyyyykxkxkOA，故C正确；因为21||1||BPkx，22||1||BQkx，所以2212||||(1)||15BPBQkxxk，而2||5BA，故D正确.3.（2022·新高考Ⅱ卷T10）已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点(,0)Mp，若||||AFAM，则（）A.直线AB的斜率为26B.||||OBOFC.||4||ABOFD.180OAMOBM【答案】ACD【解析】对于A，易得(,0)2pF，由AFAM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为3224ppp，代入抛物线可得2233242pypp，则36(,)42ppA，则直线AB的斜率为6226342ppp，A正确；对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为1226pxy，联立抛物线方程得22106ypyp，设11(,)Bxy，则16626pyp，则163py，代入抛物线得21623ppx，解得13px，则6(,)33ppB，则22673332ppppOBOF，B错误；对于C，由抛物线定义知：325244312pppABppOF，C正确；对于D，23663663(,)(,)0423343234pppppppppOAOB，则AOB为钝角，又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMAMB，则AMB为钝角，又360AOBAMBOAMOBM，则180OAMOBM，D正确.故选：ACD.4.（2022·全国甲（文）T21）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点,0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF．（1）求C的方程；（2）设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）24yx；（2）:24ABxy.【解析】（1）抛物线的准线为2px，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时=32pMFp，所以2p，所以抛物线C的方程为24yx；（2）设222231241234,,,,,,,4444yyyyMyNyAyBy，直线:1MNxmy，由214xmyyx可得2440ymy，120,4yy，由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy，34223434444AByykyyyy，直线112:2xMDxyy，代入抛物线方程可得1214280xyyy，130,8yy，所以322yy，同理可得412yy，所以34124422MNABkkyyyy又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以tantan22MNABkk，若要使最大，则0,2，设220MNABkkk，则2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk，当且仅当12kk即22k时，等号成立，所以当最大时，22ABk，设直线:2ABxyn，代入抛物线方程可得24240yyn，34120,4416yynyy，所以4n，所以直线:24ABxy.5.（2022·全国甲（理）T）20.设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点,0Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3MF．（1）求C的方程；（2）设直线,MDND与C的另一个交点分别为A，B，记直线,MNAB的倾斜角分别为,．当取得最大值时，求直线AB的方程．【答案】（1）24yx；（2）:24ABxy.【解析】（1）抛物线的准线为2px，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时=32pMFp，所以2p，所以抛物线C的方程为24yx；（2）设222231241234,,,,,,,4444yyyyMyNyAyBy，直线:1MNxmy，由214xmyyx可得2440ymy，120,4yy，由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy，34223434444AByykyyyy，直线112:2xMDxyy，代入抛物线方程可得1214280xyyy，130,8yy，所以322yy，同理可得412yy，所以34124422MNABkkyyyy又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,，所以tantan22MNABkk，若要使最大，则0,2，设220MNABkkk，则2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk，当且仅当12kk即22k时，等号成立，所以当最大时，22ABk，设直线:2ABxyn，代入抛物线方程可得24240yyn，34120,4416yynyy，所以4n，所以直线:24ABxy.1.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．2.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.3.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．4．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．5.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.1．定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．2．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是不是标准方程，以及是哪一种标准方程．一、单选题1．已知O为坐标原点，抛物线214xy的焦点为F，点M在抛物线上，且3MF，则M点到x轴的距离为（）A．2B．4716C．23D．22【答案】D【解析】由题意得24yx，所以准线为1x，又因为||3MF，设点M的坐标为00,xy，则有013MFx，解得：02x将02x代入解析式24yx得：022y，所以M点到x轴的距离为22．2．已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，ADl于D.若4AF，60DAF，则抛物线C的方程为（）A．28yxB．24yxC．22yxD．2yx【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得4ADAF，又60DAF，所以12ADpAF，所以42p，解得2p，所以抛物线C的方程为24yx.3．设O、F分别是抛物线24yx的顶点和焦点，点P在抛物线上，若10OPFP，则FPA．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】1,0F，设2,4yPy，22,1,01,44yyFPPyFy，因为10OPFP，22,1,1044yyyy，42121600,yy28,22yy21,1,224yFPy，3FP4．抛物线24yx的焦点为F，点3,2A，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF△周长的最小值为（）A．4B．5C．422D．522【答案】C【解析】由抛物线为24yx可得焦点坐标1,0F，准线方程为1x．由题可知求PAF△周长的最小值．即求PAPF的最小值．设点p在准线上的射影为点D．则根据抛物线的定义．可知PFPD．因此求PAPF的最小值即求PAPD的最小值．根据平面几何知识，当P、A、D三点共线时，PAPD最小．所以min1314APAPDx．又因为22312022AF，所以PAF△周长的最小值为422．5．已知抛物线C：x2=-2py(p0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=（）A．4B．6C．8D．10【答案】A【解析】设00,Mxy，则0026262pypy，解得4p6．已知抛物线2:4Cyx上任意