专题一 第3讲　不等式 (6)

第3讲不等式[考情分析]1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.线性规划主要考查利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离等)求目标函数的最值.3.基本不等式通常与其他知识综合考查求最值、范围等问题.4.此部分内容多以选择题、填空题形式呈现，中等难度．考点一不等式的性质与解法核心提炼判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负．(2)利用不等式的性质推理判断．(3)利用函数的单调性．(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．例1(1)(2022·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且abc，则下列不等式中，一定成立的是________．(填序号)①acbc；②ac2bc2；③(a－b)c(a－c)c；④lna－ba－c0.(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式2a＋bx＋cbx的解集为________．易错提醒解不等式问题的易错点(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视a＝0的情况．(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解．(3)分式不等式易忽视分母不为0.跟踪演练1(1)(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6a5b，则下列选项中一定成立的是()A．abB．a3b3C．ea－b1D．lnab0(2)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为()A．(6,7]B．[－3，－2)C．[－3，－2)∪(6,7]D．[－3,7]考点二线性规划核心提炼1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－abx＋zb(b≠0)，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.3．斜率型：形如z＝y－bx－a(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.例2(1)(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件x＋y≥2，x＋2y≤4，y≥0，则z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12(2)(2022·运城模拟)已知实数x，y满足约束条件x－y＋3≥0，x＋y－5≤0，x－2y＋2≤0，则z＝y－3x＋2的取值范围是()A.0，13∪[2，＋∞)B.13，＋∞C.13，2D.－∞，13∪[2，＋∞)规律方法含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论．跟踪演练2(1)(2022·宁波模拟)若实数x，y满足2x－y≥0，y≥x，y≤－x＋2m，且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．3(2)(2022·榆林模拟)已知实数x，y满足3x－2y＋6≥0，2x－3y－6≤0，x＋2y＋2≥0，则目标函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为________．考点三基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋Agx＋Bg(x)(AB0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例3(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则x＋1xy的最小值为()A．9B．12C．26＋5D.6＋5(2)(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当ACAB取得最小值时，BD＝________.规律方法利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等，三者缺一不可．(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练3(1)若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为()A．6B．4C．22D．2(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的取值范围是_____________，x2＋y2的最大值为________．