2015年福建省高考数学试卷(理科)解析

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第1页(共26页)2015年福建省高考数学试卷(理科)一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工类)1.(5分)(2015•福建)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,﹣1},则A∩B等于()A.{﹣1}B.{1}C.{1,﹣1}D.ϕ2.(5分)(2015•福建)下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=ex﹣e﹣x3.(5分)(2015•福建)若双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.34.(5分)(2015•福建)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5.(5分)(2015•福建)若变量x,y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于()A.B.﹣2C.D.26.(5分)(2015•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()第2页(共26页)A.2B.1C.0D.﹣17.(5分)(2015•福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)(2015•福建)若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.99.(5分)(2015•福建)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2110.(5分)(2015•福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(4分)(2015•福建)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)第3页(共26页)12.(4分)(2015•福建)若锐角△ABC的面积为,且AB=5,AC=8,则BC等于.13.(4分)(2015•福建)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.14.(4分)(2015•福建)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.15.(4分)(2015•福建)一个二元码是由0和1组成的数字串,其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.三、解答题16.(13分)(2015•福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.17.(13分)(2015•福建)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEG,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.第4页(共26页)(1)求证:GF∥平面ADE(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.(13分)(2015•福建)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点,且离心率e为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x=my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.19.(13分)(2015•福建)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x=m)在[0,2π)内有两个不同的解α,β(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(α﹣β)=﹣1.20.(7分)(2015•福建)已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx,(k∈R)(1)证明:当x>0时,f(x)<x;(2)证明:当k<1时,存在x0>0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x);(3)确定k的所以可能取值,使得存在t>0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)﹣g(x)|<x2.第5页(共26页)四、选修4-2:矩阵与变换21.(7分)(2015•福建)已知矩阵A=,B=(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)求矩阵C,使得AC=B.五、选修4-4:坐标系与参数方程22.(7分)(2015•福建)在平面直角坐标系xoy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ﹣)=m,(m∈R)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.六、选修4-5:不等式选讲23.(7分)(2015•福建)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值为.第6页(共26页)2015年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工类)1.(5分)(2015•福建)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,﹣1},则A∩B等于()A.{﹣1}B.{1}C.{1,﹣1}D.ϕ考点:虚数单位i及其性质;交集及其运算.菁优网版权所有专题:集合;数系的扩充和复数.分析:利用虚数单位i的运算性质化简A,然后利用交集运算得答案.解答:解:∵A={i,i2,i3,i4}={i,﹣1,﹣i,1},B={1,﹣1},∴A∩B={i,﹣1,﹣i,1}∩{1,﹣1}={1,﹣1}.故选:C.点评:本题考查了交集及其运算,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题.2.(5分)(2015•福建)下列函数为奇函数的是()A.y=B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=ex﹣e﹣x考点:函数奇偶性的判断;余弦函数的奇偶性.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:根据函数奇偶性的定义进行判断即可.解答:解:A.函数的定义域为[0,+∞),定义域关于原点不对称,故A为非奇非偶函数.B.f(﹣x)=|sin(﹣x)|=|sinx|=f(x),则f(x)为偶函数.C.y=cosx为偶函数.D.f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣(ex﹣e﹣x)=﹣f(x),则f(x)为奇函数,故选:D点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性定义是解决本题的关键.3.(5分)(2015•福建)若双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3考点:双曲线的简单性质.菁优网版权所有专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定P在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得结论.第7页(共26页)解答:解:由题意,双曲线E:=1中a=3.∵|PF1|=3,∴P在双曲线的左支上,∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6,∴|PF2|=9.故选:B.点评:本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的定义,属于基础题.4.(5分)(2015•福建)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为()A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元考点:线性回归方程.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:由题意可得和,可得回归方程,把x=15代入方程求得y值即可.解答:解:由题意可得=(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10,=(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8,代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4,∴回归方程为=0.76x+0.4,把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8,故选:B.点评:本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算,属基础题.5.(5分)(2015•福建)若变量x,y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于()A.B.﹣2C.D.2考点:简单线性规划.菁优网版权所有专题:不等式的解法及应用.第8页(共26页)分析:由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.解答:解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得A(﹣1,).∴z=2x﹣y的最小值为2×(﹣1)﹣=.故选:A.点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.6.(5分)(2015•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A.2B.1C.0D.﹣1第9页(共26页)考点:循环结构.菁优网版权所有专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=6时满足条件i>5,退出循环,输出S的值为0.解答:解:模拟执行程序框图,可得i=1,S=0S=cos,i=2不满足条件i>5,S=cos+cosπ,i=3不满足条件i>5,S=cos+cosπ+cos,i=4不满足条件i>5,S=cos+cosπ+cos+cos2π,i=5不满足条件i>5,S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0,i=6满足条件i>5,退出循环,输出S的值为0,故选:C.点评:本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.7.(5分)(2015•福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有专题:简易逻辑.分析:利用直线与平面平行与垂直关系,判断两个命题的充要条件关系即可.解答:解:l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α,反之,“l∥α”一定有“l⊥m”,所以l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件.故选:B.点评:本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用,充要条件的判断,基本知识的考查.8.(5分)(2015•福建)若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9考点:等比数列的性质;等差数列的性质.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.第1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