第3章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或.f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的，相应的切线方程为．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝______f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝______f(x)＝ax(a0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝lnxf′(x)＝_____4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝；[f(x)g(x)]′＝；fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(4)(cos2x)′＝－2sin2x.()教材改编题1．若函数f(x)＝3x＋sin2x，则()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝3xln3＋cos2xD．f′(x)＝3xln3－2cos2x2．函数f(x)＝ex＋1x在x＝1处的切线方程为．3．已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是()A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.2sinxx2′＝2xcosx＋4sinxx3D．(2x＋cosx)′＝2xln2－sinx(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝xex，则f′(x)＝1－xexD．若f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′π3sinx，则fπ6＝.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为()A．4ex－y＋e2＝0B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0D．4ex＋y－e2＝0(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝________.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．跟踪训练2(1)曲线f(x)＝x2＋x－2ex在(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝－3x＋2(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝acosxx在点π，－aπ处的切线方程为y＝2π2x＋b，则a的值是()A.4πB．－2C．－4πD．2题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l：y＝kx＋b(k1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝elnx的公切线，则l的纵截距b等于()A．0B．1C．eD．－e(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝lnx－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是()A．(0,2e]B.12e－3，＋∞C.0，12e－3D．[2e，＋∞)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于()A．－3B．1C．3D．5(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，则f(x)与g(x)的公切线有()A．0条B．1条C．2条D．3条