第3章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]

§3.4函数中的构造问题函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．题型一导数型构造函数命题点1利用f(x)与x构造例1(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log218·flog218，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．acbD．cab听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxxn.跟踪训练1(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)0的解集是()A．(－∞，1)B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0,1)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2利用f(x)与ex构造例2(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)1，且f(0)＝2022，则不等式f(x)＋12023ex的解集为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C.－∞，1eD．(－∞，1)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝fxenx.跟踪训练2(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)0，且有f(3)＝3，则f(x)3e3－x的解集为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3利用f(x)与sinx，cosx构造例3已知偶函数f(x)的定义域为－π2，π2，其导函数为f′(x)，当0xπ2时，有f′(x)cosx＋f(x)sinx0成立，则关于x的不等式f(x)2fπ3cosx的解集为()A.－π2，－π3∪π3，π2B.－π3，π3C.－π2，－π3D.π3，π2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华函数f(x)与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝fxsinx，F′(x)＝f′xsinx－fxcosxsin2x；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝fxcosx，F′(x)＝f′xcosx＋fxsinxcos2x.跟踪训练3已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sinx＋f(x)cosx0，若a＝22f－π6，b＝－fπ4，则a与b的大小关系为_____．(用“”连接)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________题型二同构法构造函数例4(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a2bB．a2bC．ab2D．ab2(2)(2023·武汉模拟)已知a0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，则a的最小值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数．跟踪训练4(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－π2sinβ－cosα，则()A．sinαsinβB．cosαcosβC．cosαsinβD．sinαcosβ(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeablnb，则()A．abeB．beaC．abeD．bea听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________