第3章　§3.8　隐零点与极值点偏移问题[培优课]

§3.8隐零点与极值点偏移问题隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大．题型一隐零点例1(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ex＋1－2x＋1，g(x)＝lnxx＋2.(1)求函数g(x)的极值；(2)当x0时，证明：f(x)≥g(x)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．跟踪训练1(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝x－alnx－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，f′(x)为f(x)的导函数，当x1时，lnx＋1(1＋k)f′(x)，求整数k的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二极值点偏移例2已知函数f(x)＝xe－x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x22.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2()2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2()x20型，构造函数F(x)＝f(x)－fx20x，通过研究F(x)的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝x1x2化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．跟踪训练2已知函数f(x)＝ln(x＋a)－x－1x＋a，函数g(x)满足ln[g(x)＋x2]＝lnx＋x－a.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x21.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________