第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(2)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(4)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．()教材改编题1．若cosα＝13，α∈－π2，0，则tanα等于()A．－24B.24C．－22D．222．若sinα＋cosα＝22，则sinαcosα等于()A．－12B．－14C.22D．23．化简cosα－π2sin5π2＋α·cos(2π－α)的结果为．题型一同角三角函数基本关系例1(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θ∈π2，πB．cosθ＝－45C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75(2)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝.(3)已知tanα＝2，则3sinα－2cosαsinα＋cosα＝；23sin2α＋14cos2α＝.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则cos2α＋12sin2α等于()A.35B．－35C．－3D．3(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝23，则sinα－cosα的值为()A.23B．－23C.43D．－43题型二诱导公式例2(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(3π－x)＝－sinxB．sinπ－x2＝－cosx2C．cos5π2＋3x＝sin3xD．cos3π2－2x＝－sin2x(2)已知sinπ3－x＝13，且0xπ6，则sinπ6＋x－cos2π3＋x的值为．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2(1)若sin3π－α－sin－3π2－αcosπ2＋α＋cos－π＋α＝13，则tanα等于()A.34B．－12C．－43D.12(2)已知cosπ4＋α＝45，则sinπ4－α的值为()A.35B．－35C.45D．－45题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.325B.357C.31010D.13(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－15.则sin2x＋2sin2x1－tanx＝.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3(1)(2023·衡水模拟)已知sin3π2－α＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα等于()A.2110B.32C.32D．2(2)已知sinα－2π3＝23，其中α∈π2，π，则cosα－π6＝，sin2α－π3＝.