第4章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β＝tanα－tanβtanα－β－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.()(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()教材改编题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A．－32B.32C．－12D.122．若将sinx－3cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φπ，则φ＝.3．已知α∈π2，π，且sinα＝45，则tanα＋π4的值为．题型一两角和与差的三角函数公式例1(1)计算：cos55°＋sin25°cos60°cos25°等于()A．－32B.32C．－12D.12(2)(2023·青岛模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝π4，则实数m的值为()A．－1B．1C．0或－3D．0或1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1(1)(2023·茂名模拟)已知0απ2，sinπ4－α＝26，则sinα1＋tanα的值为()A.41451B.21413C.41751D.21713(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosα＋π4sinβ，则()A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1题型二两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2(1)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝，cos2β＝.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2(1)(2022·咸阳模拟)已知sinx－π6＝33，则sinx＋sinx－π3等于()A．1B．－1C.233D.3(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．题型三角的变换问题例3(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sinθ＋π3＝1，则sinθ＋π6等于()A.12B.33C.23D.22(2)已知α，β为锐角，sinα＝31010，cos(α＋β)＝－55.则sin(2α＋β)的值为．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－π4－α等．跟踪训练3(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝2425，则cosα＋π4＝________.(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝，tanα＝.