2015年高考数学广东卷(理科)试卷及答案(word完整版)

1绝密★启用前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合|(4)(1)0,|(4)(1)0MxxxNxxx，则MNA.1,4B.1,4C.0D.2.若复数(32)zii（i是虚数单位），则zA.23iB.23iC.32iD.32i3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是2A.1yx1B.yxx1C.22xxyD.xyxe4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.15.平行于直线2++1=0xy且与圆225xy相切的直线的方程是A.250250xyxy或B.250250xyxy或C.250250xyxy或D.250250xyxy或6.若变量,xy满足约束条件4581302xyxy，则32zxy的最小值为A.423B.5C.631D.57.已知双曲线2222:1xyCab的离心率54e，且其右焦点为2(5,0)F，则双曲线C的方程为22A.143xy22B.1916xy22C.1169xy22D.134xy8.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9.在4x（-1）的展开式中，x的系数为.10.在等差数列{}na中，若3456725aaaaa，则28aa.11.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6C，则b=.12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）13.已知随机变量X服从二项分布(,)Bnp，()30EX，()20DX，则p.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin()24，点A的极坐标为7(22,)4A，则点A到直线l的距离为.15.(几何证明选讲选做题)如图1，已知AB是圆O的直径，4AB,EC是圆O的切线，切点为C，1BC，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（22，-22），n=（sinx，cosx），x（0，π2）.（1）若m⊥n，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为，求x的值.17.（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄3140244340441533640745842943103611441238133914331545163917381836192720432141223723342442253726442742283429393043313832423353343735493639（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x和方差2s；（3）36名工人中年龄在xs-与xs+之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6，BC=3，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB，（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P-AD-C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a，函数2()(1)xfxxea=+-.（1）求()fx的单调区间；4（2）证明：()fx在,上仅有一个零点；（3）若曲线()yfx=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)Mma的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆221:650Cxyx+-+=相交于不同的两点A，B.（1）求圆1C的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线:(4)Lykx=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}na满足：*121224,2nnnaananN-++++=-?.（1）求3a的值；（2）求数列{}na的前n项和nT；（3）令111111,(1)(2)23nnnTbabannn-==+++++?，证明：数列{}na的前n项和nS满足22lnnSn+.5参考答案1-5DADBA6-8BCB9、610、1011、112、156013、3114、22515、816、解：17、解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本。则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由（1）中的样本年龄数据可得，4037434437364336404491x则有240372404324044240372403624043240362404024044912s=9100（3）由题意知年龄在910040910040，之间，即年龄在4337，之间，6由（1）中容量为9的样本中年龄在4337，之间的有5人，所以在36人中年龄在4337，之间的有209536（人），则所占百分比为55.56%100%362018、解：（1）证明：PCPD为等腰三角形PDCE为CD边的中点，所以，DCPEABCDPDC平面平面，DCABCDPDC平面平面，且PDCPE平面∴PEABCD平面ABCDFG平面，FGPE（2）由长方形ABCD知，DCADABCDPDC平面平面，DCABCDPDC平面平面，且ABCDAD平面PDCAD平面PDCPD平面，ADPDCADDCPDAPCADPDADDC平面，平面，且，由CADPPDC即为二面角由长方形ABCD得6ABDC，E为CD边的中点，则321DCDE7343422PEDCPEDEPD，，，37tanDEPEPDC即二面角CADP的正切值为37（3）如图，连结A,CGBCGFBAF22，BCBGABBF，ACFG//7PAC为直线PA与直线FG所成角.由长方形ABCD中36BCAB，得533622AC由（2）知PDAD，43PDBCAD，54322AP由题意知4PC25592cos222ACAPPCACAPPAC所以，直线PA与直线FG所成角的余弦值为255919、解：（1）222()(1)()=2(1)(1)()0()RxxxxfxxeafxxexexexRfxfx时，恒成立的单调递增区间为（2）由（1）可知()fx在R上为单调递增函数()=(+)(1)1()0()(,)aaaxafaaeaeaeafafx当时，1在上仅有一个零点（3）令点P为00(,)xy020002()P()=(1)02=-1,p(-1,-)2-2OP1M(m,n)OP2()(1)xopmyfxxfxxexaeaekaefmmeae曲线在点处的切线与轴平行直线斜率为在点处的切线与直线平行833221,(1)amaee要证明m即证32(1)(1)1()1()1()0,0()+()(0)0101mmmmmmmmegmemgmegmmgmgmgemem需证明需证明设令在(-,0)上单调递减，在(0，)上单调递增命题得证.20、解：（1）由题意知：圆1C方程为：22(3)4xy∴圆1C的圆心坐标为（3,0）（2）由图可知，令22221111111(,),||,||(3)MxyOMxyCMxy222112222211112211||||||3(3)39()24OCOMCMxyxyxy∵直线L与圆1C交于A、B两点∴直线L与圆1C的距离：02d221122111220(3)4930(3)()442533395C()(,3]243xyxxxxyx轨迹的方程为：（3）∵直线L：2239(4)()124ykxxy与曲线仅有个交点联立方程：22(4)5(,3]393()24ykxxxy，9得：2222(1)(83)160kxkxk，5(,3]13在区间有且仅有个解22224=(83)-64+1=3kkkk当（）0时，此时，125(,3]53x，仅有一个交点，符合题意。22220()(1)(83)16xkxkxk当时，令g则有：5()(3)03gg解得：2525[,]77k∴k的取值范围为：2525[,]77k或43k21、解：（1）由题意知：1212242nnnaana1211232321322=22=4232=32+3=42322233=4(4)2241=4naanaaaaa当时，当时，（2）121121224232+(+1)42nnnnnnaananaanana1123([phone]nnnnnnnnannn111()21()2nnnnaa∴{}na是首相为1，公比为12的等边数列10∴1111()1122()212212nnnnT（3）由（2）得：1122nnT1111(2)(1)22nnSn已知不等式：111ln(1)23nn设()ln(1),01xfxxxx21()0,()()1()ln(1)(0)01ln(1)()11=,1ln(1)ln(1)lnlnln(1)ln2ln1ln1111ln(1)231111ln2311111(2)(1)2(1222nnxfxfxxxfxxfxxxxxnnnnnnnnnnnSn在0,+单调递增在0,+上恒成立令1)2(1ln2)22ln2n