第4章　§4.5　三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图象与性质考试要求1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，，，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域周期性奇偶性奇函数单调递增区间单调递减区间对称中心kπ2，0对称轴方程常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．2．奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)．(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减．()(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．()(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．()(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()教材改编题1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝22．函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为________．3．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y＝cosx－32的定义域为()A.－π6，π6B.kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)C.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)D．R(2)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1(1)(2021·北京)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为98(2)函数y＝lgsinx＋cosx－12的定义域为________________．题型二三角函数的周期性与对称性例2(1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin2x＋π6，则下列说法正确的是()A．图象关于点π6，0对称B．图象关于点π3，0对称C．图象关于直线x＝π6对称D．图象关于直线x＝π3对称(2)函数f(x)＝3sin2x－π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω0)的周期为2πω，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω0)的周期为πω求解．跟踪训练2(1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sinωx＋π4＋b(ω0)的最小正周期为T.若2π3Tπ，且y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，则fπ2等于()A．1B.32C.52D．3(2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝3sin2x－π3，则下列结论正确的是()A．f(x)的最大值为3B．f(x)的最小正周期为πC．fx－π12为奇函数D．f(x)的图象关于直线x＝11π12对称题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3函数f(x)＝sinπ3－2x的单调递减区间为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2根据单调性求参数例4(1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)＝cosx－π3在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为()A.π3B.π2C.2π3D.π(2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(ω0)，且在π3，π2上单调递增，则满足条件的ω的最大值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()A．f(x)在－π2，－π6上单调递减B．f(x)在－π4，π12上单调递增C．f(x)在0，π3上单调递减D．f(x)在π4，7π12上单调递增(2)已知函数f(x)＝sinωx－π6(ω0)，则“函数f(x)在π6，2π3上单调递增”是“0ω2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件