第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]

§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1B．42023－1C．22023＋1D．42023＋1(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且1an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为__________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为()A．an＝(2n＋1)·3nB．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3nD．an＝(n＋1)·2n(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列anqn跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于()A．n·2n－1B．n·2nC．(n－1)·2nD．(n＋1)·2n(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设1an的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2B．22023－1C．2D．1(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47B．48C．49D．410(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．跟踪训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.题型三倒数为特殊数列形如an＋1＝panran＋s型例5(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an4an＋1(n∈N*)，则满足an137的n的最大取值为()A．7B．8C．9D．10(2)(多选)数列{an}满足an＋1＝an1＋2an(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是()A.2a10＝1a3＋1a17B.1{2}na是等比数列C．(2n－1)an＝1D．3a5a17＝a49听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华两边同时取倒数转化为1an＋1＝sp·1an＋rp的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出1an的表达式，再求an.跟踪训练3已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．