第7章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题 (2)

§7.8空间距离及立体几何中的探索问题考试要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP→＝a，则向量AP→在直线l上的投影向量AQ→＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP→|2－|AQ→|2＝.2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP→在直线l上的投影向量QP→的长度，因此PQ＝AP→·n|n|＝AP→·n|n|＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．()(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()教材改编题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A.2B．2C.22D.3222．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝22，0，22为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．题型一空间距离例1(1)(2023·长沙模拟)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为()A．22B．23C．3D．25听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·济宁模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝12AB＝12AA1＝2，BC1＝23，M为线段AB上的动点．①证明：BC1⊥CM；②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)点到直线的距离．①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝|PA→|2－PA→·n2；②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(2)求点面距一般有以下三种方法．①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；②等体积法；③向量法.跟踪训练1(1)(2023·枣庄模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．①证明：D1E⊥A1D；②当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二立体几何中的探索性问题例2(2022·常德模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．(1)求证：AC⊥平面A1BO；(2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为277，若存在，请计算CPCC1的值；若不存在，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练2如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________