第8章　§8.6　双曲线 (12)

§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的等于非零常数(|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质焦点焦距范围或，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：；对称中心：______顶点轴实轴：线段，长：；虚轴：线段B1B2，长：，实半轴长：，虚半轴长：_____渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca∈_________a，b，c的关系c2＝(ca0，cb0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则12PFFS△＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.5．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m0，n0)的渐近线方程是xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()教材改编题1．已知曲线C的方程为x2k＋1＋y25－k＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是()A．－1k5B．k5C．k－1D．k≠－1或52．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是()A．y＝±12xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±2x3．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.题型一双曲线的定义及应用例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(x2)B.x29－y25＝1(x3)C.x29＋y25＝1(0x2)D.x29＋y24＝1(0x3)(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为__________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－y28＝1B.x28－y2＝1C．x2－y28＝1(x≤－1)D．x2－y28＝1(x≥1)(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．x2－3y23＝1D.3x23－y2＝1(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.x216－y29＝1B.x24－y2＝1C.x28－y29＝1D.x24－y23＝1题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0y＝±bax.(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.72B.132C.7D.13(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：x29－k＋y2k－1＝1(0k1)，则下列结论正确的是()A．双曲线C的焦点在x轴上B．双曲线C的焦距等于42C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1－kD．双曲线C的离心率的取值范围为1，103(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．