第5节 古典概型、概率的基本性质

第5节古典概型、概率的基本性质考试要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率.1.古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.2.古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.3.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(4)概率为0的事件一定是不可能事件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个样本点，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确.2.(易错题)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115B.15C.14D.12答案B解析由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝4·A33C36·A33＝15.3.(2022·九江一模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116答案A解析在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的样本点数为C36＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝2064＝516.4.(2020·全国Ⅰ卷)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.15B.25C.12D.45答案A解析从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有C35＝10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为210＝15.故选A.5.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.13B.25C.23D.45答案C解析法一4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将4个1和2个0随机排成一行有A66种排法，将1A，1B，1C，1D排成一行有A44种排法，再将0A，0B插空有A25种排法，所以2个0不相邻的概率P＝A44A25A66＝23.法二将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C26种排法，其中将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C25种排法.所以2个0不相邻的概率P＝C25C26＝23.6.(易错题)抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.答案2316解析抛掷一枚骰子，样本空间出现的点数是{1，2，3，4，5，6}，事件A∪B包括出现的点数是{1，3，5，6}这4个样本点，故P(A∪B)＝23；事件A∩B包括出现的点数是{3}这1个样本点，故P(A∩B)＝16.考点一古典概型例1(1)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15答案B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.(2)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.答案12解析从10件产品中取4件，共有C410种取法，恰好取到1件次品的取法有C13C37种，由古典概型概率计算公式得P＝C13C37C410＝3×35210＝12.感悟提升求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识.训练1(1)(2022·济南质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为()A.25B.35C.715D.815答案B解析一次随机取出2个球，样本点总数为C26＝15，至少有1个红球包含的样本点个数为C14C12＋C22＝9，所以至少有1个红球的概率P＝915＝35.(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12答案D解析两位男同学和两位女同学排成一列一共有A44＝24种方法，两位女同学相邻的排法有A22A33＝12种，∴两位女同学相邻的概率P＝1224＝12.考点二概率基本性质的应用例2从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：红灯个数0123456个及6个以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母a的值；(2)求至少遇到4个红灯的概率；(3)求至多遇到5个红灯的概率.解(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件D－.则P(D－)＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.感悟提升复杂事件概率的求解方法(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.训练2(1)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用非现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案B解析只用非现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于()A.12B.23C.56D.1答案B解析法一A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(A∪B)＝46＝23.法二P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝12＋12－26＝1－13＝23.考点三古典概型的综合应用例3某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率.解(1)由(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125＋x＋0.0050＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＝0.450.5，且(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125)×20＝0.70.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]内的用户分别有0.0075×20×100＝15(户)，0.005×20×100＝10(户)，0.0025×20×100＝5(户).抽样方法为分层随机抽样，所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户.设参加节目的2户来自不同组为事件A，则P(A)＝C13C12＋C13C11＋C12C11C26＝1115.感悟提升有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.训练32019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能