第8节 二项分布与超几何分布、正态分布

第8节二项分布与超几何分布、正态分布考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.1.伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.4.正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2π·e－（x－μ）22σ2，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.②曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π.③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1.二项分布当n＝1时就是两点分布.2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.()(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.()(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.(2022·济南模拟)从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.435B.635C.1235D.36343答案C解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝C23C14C37＝1235.3.(易错题)甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看做三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为6364，则甲恰好取胜一次的概率为()A.14B.34C.964D.2764答案C解析假设甲取胜事件为A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝6364，得p＝34，则事件A恰好发生一次的概率为C13×34×1－342＝964.4.(2022·石家庄模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是23，乙赢的概率是13，则甲以3∶1获胜的概率是()A.827B.1627C.1681D.3281答案A解析甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以3∶1获胜的概率是P＝C23×232×13×23＝827.5.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是()A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等答案D解析对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误.6.(易错题)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，则c＝________.答案43解析∵X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，∴2c－1＋c＋3＝2×3，∴c＝43.考点一二项分布例1(2022·武汉调研)为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模型，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为35，选择B组合的概率为15，选择C组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望.解用Ai表示第i位同学选择A组合，用Bi表示第i位同学选择B组合，用Ci表示第i位同学选择C组合，i＝1，2，3.由题意可知，Ai，Bi，Ci互相独立，且P(Ai)＝35，P(Bi)＝15，P(Ci)＝15.(1)三位同学恰好选择不同的组合共有A33＝6种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率P＝6×P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×35×15×15＝18125.(2)由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η～B3，25，所以P(η＝0)＝C03250353＝27125，P(η＝1)＝C13251352＝54125，P(η＝2)＝C23252351＝36125，P(η＝3)＝C33253350＝8125，所以η的分布列为η0123P2712554125361258125所以E(η)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.感悟提升判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.训练1(2022·苏北四市调研)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16.”(1)求抽奖者获奖的概率；(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.解(1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，由C2nC29＝16，得n＝4，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为C15C14C29＝59.(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为49×C15C13C28＋59×C14C14C28＝59，所以X～B3，59，X的分布列为P(X＝k)＝Ck359k493－k(k＝0，1，2，3)，X0123P6472980243100243125729所以E(X)＝3×59＝53.考点二超几何分布例2为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X).解(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以事件A发生的概率为635.(2)随机变量X服从超几何分布，X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1，2，3，4).故P(X＝1)＝C15C33C48＝114，P(X＝2)＝C25C23C48＝37，P(X＝3)＝C35C13C48＝37，P(X＝4)＝C45C03C48＝114，所以随机变量X的分布列为X1234P1143737114所以E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.感悟提升(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.训练2端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X).解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为X012P715715115所以E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.考点三正态分布例3(1)(2022·沈阳调研)为了解高三复习备考情况，其校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)答案0.1610解析因为数学成绩X服从正态分布N(100