第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀奇变偶不变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(3)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sinα.(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.(4)当k为奇数时，sinα＝13，当k为偶数时，sinα＝－13.2.(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A.sin(－x)＝sinxB.sin3π2－x＝cosxC.cosπ2＋x＝－sinxD.cos(x－π)＝－cosx答案CD解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sin3π2－x＝－cosx，故B不成立；cosπ2＋x＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝－cosx，故D成立.3.(2022·南昌一模)已知3sinθ＋π2＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sinθ＝()A.－31010B.－1010C.31010D.1010答案A解析∵3sinθ＋π2＋sin(θ＋π)＝0，∴3cosθ－sinθ＝0，∴tanθ＝sinθcosθ＝3，∵θ∈(－π，0)，sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝－31010.4.(2021·沈阳郊联体一模)已知2sin(π－α)＝3sinπ2＋α，则sin2α－12sin2α－cos2α＝()A.513B.－113C.－513D.113答案B解析由条件得2sinα＝3cosα，即tanα＝32，故原式＝sin2α－12sin2α－cos2αsin2α＋cos2α＝sin2α－sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－tanα－11＋tan2α＝94－32－11＋94＝－113.5.化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________.答案－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.6.(易错题)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为________.答案32解析∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.考点一同角三角函数基本关系式的应用角度1切弦互化例1(1)已知α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为________.答案－105解析由tanα＝－13，得sinα＝－13cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α＝1，所以cos2α＝910，易知cosα＜0，所以cosα＝－31010，sinα＝1010，故sinα＋cosα＝－105.(2)已知sinπ2＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sinθcosθ＋cos2θ＝()A.15B.25C.35D.55答案C解析由已知sinπ2＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)⇒cosθ－3cosθ＝－sinθ⇒tanθ＝2，则sinθcosθ＋cos2θ＝sinθcosθ＋cos2θsin2θ＋cos2θ＝tanθ＋1tan2θ＋1＝35.角度2“和”“积”转换例2(1)已知sinαcosα＝38，且π4＜α＜π2，则cosα－sinα的值为()A.12B.±12C.－14D.－12答案D解析∵sinαcosα＝38，∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×38＝14，∵π4＜α＜π2，∴cosα＜sinα，即cosα－sinα＜0，∴cosα－sinα＝－12.(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A.sinθ＝45B.cosθ＝－35C.tanθ＝－34D.sinθ－cosθ＝75答案ABD解析由题意知sinθ＋cosθ＝15，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425＜0，又∵θ∈(0，π)，∴π2＜θ＜π，∴sinθ－cosθ＞0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－－2425＝4925＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43，∴A、B、D正确.感悟提升1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如asinx＋bcosxcsinx＋dcosx，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.训练1(1)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C.1D.1625答案A解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α＋4sinαcosαcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.(2)已知sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为()A.56B.－56C.43D.34答案B解析由题可得，sinα＋cosα＝23，sinαcosα＝a3.所以sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝49－2a3＝1，解得a＝－56.考点二诱导公式的应用1.sin570°的值是()A.－12B.12C.32D.－32答案A解析sin570°＝sin(720°－150°)＝－sin150°＝－12.2.化简cos（π＋α）cosπ2＋αcos11π2－αcos（π－α）sin（－π－α）sin9π2＋α的结果是()A.－1B.1C.tanαD.－tanα答案C解析原式＝－cosα·（－sinα）·cos3π2－α－cosα·sinα·sinπ2＋α＝－sin2α·cosα－sinα·cos2α＝tanα.3.已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α等于()A.513B.1213C.－513D.－1213答案B解析因为sinα＋π3＝1213，所以cosπ6－α＝sinπ2－π6－α＝sinα＋π3＝1213.4.设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.答案3解析因为f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.感悟提升(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.考点三同角关系式和诱导公式的综合应用例3(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B.23C.13D.59答案A解析由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sinα＝1－cos2α＝1－－232＝53.(2)已知α是第三象限角，且cosα＝－1010.则cos（π－α）2sin（－α）＋sinπ2＋α的值为________.答案15解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－31010，cos（π－α）2sin（－α）＋sinπ2＋α＝－cosα－2sinα＋cosα＝cosα2sinα－cosα＝－1010－61010＋1010＝15.(3)已知cosπ6－θ＝a(|a|≤1)，则cos5π6＋θ＋sin2π3－θ的值是________.答案0解析∵cos5π6＋θ＝cosπ－π6－θ＝－cosπ6－θ＝－a，sin2π3－θ＝sinπ2＋π6－θ＝cosπ6－θ＝a，∴cos5π6＋θ＋sin2π3－θ＝0.感悟提升1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.训练2(1)(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是()A.sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B.若cos(nπ－α)＝13(n∈Z)，则cosα＝13C.若α≠kπ2(k∈Z)，则tanπ2＋α＝－1tanαD.若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1答案CD解析由诱导公式二知α∈R时，sin(π＋α)＝－sinα，所以A错误；当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此时cosα＝13；当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此时