第9章　必刷大题18　统计与统计分析

1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．(1)根据频率分布直方图，估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数．2．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护．某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；(同一组数据用该组数据的中点值代替)(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率．3．为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动．某班统计了本班同学1～7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程y^＝b^x＋4，y与x的原始数据如表所示：月份x1234567人均月劳动时间y89m12n1922由于某些原因导致部分数据丢失，但已知i＝17xiyi＝452.(1)求m，n的值；(2)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差)．参考公式：在经验回归方程y^＝b^x＋a^中，b^＝i＝1nxiyi－nx·yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.4．为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；(2)把年龄在[15,45)内的居民称为中青年，年龄在[45,65]内的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.025的独立性检验，分析阅读方式是否与年龄有关．电子阅读纸质阅读合计中青年中老年合计附：χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋d.α0.150.10.050.0250.01xα2.0722.7063.8415.0246.6355．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省某年1～7月份煤改气、煤改电的用户数量．图1图2(1)在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和样本相关系数说明y与t之间具有线性相关性；(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程v^＝β^u＋α^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2＝i＝1nuivi－nu·vi＝1nu2i－nu2，α^＝v－β^u.参考数据：i＝17yi＝9.24，i＝17tiyi＝39.75，i＝17yi－y2≈0.53，7≈2.646.样本相关系数r＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2i＝1nyi－y2.6．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某地区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：年份(年)20152016201720182019202020212022年份代码x12345678保有量y/千辆1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70(1)根据统计表中的数据画出散点图(如图)，请判断y＝bx＋a与y＝ecx＋d哪一个更适合作为y关于x的经验回归模型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程；(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同．若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2027年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程v^＝β^u＋α^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2＝i＝1nuivi－nu·vi＝1nu2i－nu2，α^＝v－β^u.参考数据：y＝12.1，t＝2.1，i＝18x2i＝204，i＝18xiyi＝613.7，i＝18xiti＝92.4，其中ti＝lnyi，lg2≈0.30，lg3≈0.48，lge≈0.43.