第2节 常用逻辑用语

第2节常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.()(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.()(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.()(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.2.(易错题)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件.3.(易错题)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定是()A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2答案D解析含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D.4.(多选)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A.l⊂α，l⊥βB.l⊥α，m⊥β，l⊥mC.α⊥γ，β∥γD.l⊂α，m⊂β，l⊥m答案ABC解析由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意；对于D，l⊂α，m⊂β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意.故选ABC.5.(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.6.(易错题)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1＞0”为真命题，则实数a的取值范围是________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1＞0恒成立，∴a＝0满足条件，②当a≠0时，a＞0，Δ＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4.综上，0≤a＜4.考点一充分、必要条件的判定例1(1)已知p：∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0，q：指数函数f(x)＝mx(m＞0，且m≠1)为减函数，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当m＝0时，1＞0成立；当m≠0时，可得m＞0，Δ＝4m2－4m＜0，解得0＜m＜1.由p得出P＝{m|0≤m＜1}，由q得出Q＝{m|0＜m＜1}，QP，故p是q的必要不充分条件.(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则()A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.感悟提升充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.训练1(1)(2021·广州一模)a＞b＋1是2a＞2b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当a＞b＋1时，得a＞b，则a＞b＋1是2a＞2b的充分条件；取a＝2，b＝1，满足2a＞2b，不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是2a＞2b的充分不必要条件.故选A.(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析①若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ.充分性成立.②若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).必要性成立.故选C.考点二充分、必要条件的应用例2已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].感悟提升充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.训练2(1)(多选)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是()A.0＜x＜1B.0＜x＜2C.x＜2D.0＜x≤2答案AB解析由2x≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是(0，2]的真子集，故选AB.(2)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.答案0，12解析p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝x|12＜x≤1，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤12且a＋1≥1，因此0≤a≤12.考点三全称量词与存在量词角度1含有量词的命题的否定例3(1)(2022·武汉模拟)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0D.∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0答案C解析含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0”，故选C.(2)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为()A.∃x∈R，ex－x－1≥0B.∃x∈R，ex－x－1＞0C.∀x∈R，ex－x－1＞0D.∀x∈R，ex－x－1≥0答案C解析根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1＞0”，故选C.角度2命题的真假判断及应用例4(1)(多选)(2022·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是()A.∃x∈(0，＋∞)，12x＜13xB.∃x∈(0，1)，log12x＞log13xC.∀x∈(0，＋∞)，12x＞log12xD.∀x∈0，13，12x＜log13x答案BD解析对于A，当x∈(0，＋∞)时，总有12x＞13x成立，故A是假命题；对于B，当x＝12时，有1＝log1212＝log1313＞log1312成立，故B是真命题；对于C，当0＜x＜12时，log12x＞1＞12x，故C是假命题；对于D，∀x∈0，13，12x＜1＜log13x，故D是真命题.(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.答案14，＋∞解析当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.感悟提升(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围.训练3(1)下列命题为假命题的是()A.∀x∈R，2x－1＞0B.∀x∈N*，(x－1)2＞0C.∃x∈R，lgx＜1D.∃x∈R，tanx＝2答案B解析当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B错误；易知A，C，D正确，故选B.(2)(2022·福州质检)已知命题“∃x∈R，mx2－x＋1＜0”是假命题，则实数m的取值范围是________.答案14，＋∞解析若命题“∃x∈R，mx2－x＋1＜0”是假命题，则“∀x∈R，mx2－x＋1≥0”为真命题，所以m＞0，Δ＝1－4m≤0，解得m≥14.1.命题p：∀x∈R，x2＋x2＋1＞4，则綈p为()A.∃x∈R，x2＋x2＋1≤4B.∃x∉R，x2＋x2＋1≤4C.∀x∈R，x2＋x2＋1≤4D.∀x∉R，x2＋x2＋1＞4答案A解析由于全称量词命题的否定为存在量词命题，故綈p：∃x∈R，x2＋x2＋1≤4.2.(多选)(2021·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x∈R，log2x＝0B.∃x∈R，cosx＝1C.∀x∈R，x2＞0D.∀x∈R，2x＞0答案ABD解析因为log21＝0，cos0＝1，所以A，B均为真命题；02＝0，C为假命题；2x＞0，D为真命题.3.已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不