第5节 空间向量及其应用

第5节空间向量及其应用考试要求1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(3)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b235.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔u·n＝0l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝01.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.4.在利用MN→＝xAB→＋yAC→证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.()(4)若a·b0，则〈a，b〉是钝角.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；(2)a⊥α；(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a，b〉＝π，则a·b0，故不正确.2.(多选)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是()A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40)答案ABC解析对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量.3.(易错题)平面α的法向量为n＝(1，－1，2)，AB→＝(2，0，－1)，那么直线AB与平面α的关系是________.答案AB∥α或AB⊂α解析因为AB→·n＝0，所以AB→⊥n，则AB∥α或AB⊂α.4.如图所示，在四面体OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________(用a，b，c表示).答案12a＋14b＋14c解析OE→＝OA→＋AE→＝a＋12AD→＝a＋12(OD→－OA→)＝12a＋12OD→＝12a＋12×12(OB→＋OC→)＝12a＋14b＋14c.5.(易错题)已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足OM→＝15OA→＋45OB→＋25BC→，则点M________(填“属于”或“不属于”)平面ABC.答案属于解析∵OM→＝15OA→＋45OB→＋25BC→＝15OA→＋45OB→＋25(OC→－OB→)＝15OA→＋25OB→＋25OC→，∵15＋25＋25＝1，∴M，A，B，C四点共面.即点M∈平面ABC.6.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.答案2解析|EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2.所以|EF→|＝2，所以EF的长为2.考点一空间向量的运算及共线、共面定理1.(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，ON→＝23OM→，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则下列等式成立的是()A.OM→＝12b－12cB.AN→＝13b＋13c－aC.AP→＝14b－14c－34aD.OP→＝14a＋14b＋14c答案BD解析对于A，利用向量的平行四边形法则，OM→＝12OB→＋12OC→＝12b＋12c，A错误；对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN→＝ON→－OA→＝23OM→－OA→＝2312OB→＋12OC→－OA→＝13OB→＋13OC→－OA→＝13b＋13c－a，B正确；对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以AP→＝34AN→＝3413b＋13c－a＝14b＋14c－34a，C错误；对于D，OP→＝OA→＋AP→＝a＋14b＋14c－34a＝14a＋14b＋14c，D正确.2.(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是()A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B.若AB→，CD→共线，则AB∥CDC.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，则P，A，B，C四点共面D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案CD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若AB→，CD→共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，因为34＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA→－PC→＝λ(PB→＋CP→)，即CA→＝λCB→，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.3.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→).(1)判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.解(1)由题知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面.(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.感悟提升1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.2.(1)对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yAB→，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.①MP→＝xMA→＋yMB→.②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→.考点二空间向量的数量积及其应用例1如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，试采用向量法解决下列问题：(1)求EF→的模长；(2)求EF→，GH→的夹角.解(1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，所以BE→＝12BC→＝12(AC→－AB→)＝12(b－a)，AF→＝12AD→＝12c，所以EF→＝EB→＋BA→＋AF→＝－12(b－a)－a＋12c＝12(c－a－b)，所以|EF→|2＝14(c－a－b)2＝14(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)＝14(1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°)＝12，故|EF→|＝22.(2)在正四面体ABCD中，EF→＝12(c－a－b)，|EF→|＝22.同理，GH→＝12(b＋c－a)，|GH→|＝22.所以cos〈EF→，GH→〉＝EF→·GH→|EF→||GH→|＝12（c－a－b）·12（b＋c－a）22×22＝12[(c－a)2－b2]＝12(c2＋a2－2c·a－b2)＝12(1＋1－2×1×1×cos60°－1)＝0，所以EF→与GH→的夹角为90°.感悟提升由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.训练1如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.(1)解记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC→1|＝6，即AC1的长为6.