第5节 二次函数与一元二次方程、不等式

第5节二次函数与一元二次方程、不等式考试要求1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)·(x－b)0{x|axb}∅{x|bxa}4.分式不等式与整式不等式(1)f（x）g（x）0(0)⇔f(x)·g(x)0(0).(2)f（x）g（x）≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|a(a0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.2.解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记当a＝0时的情形.3.不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)不等式x2≤a的解集为[－a，a].()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a0)的解集为R.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)错误.x－ax－b≥0等价于(x－a)(x－b)≥0且x≠b.(3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a0时，其解集为∅.(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集为∅.2.(2021·湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则A∩B＝()A.(3，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－1，1)D.(1，3)答案D解析易知A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜3}，故选D.3.(2022·福州质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x|－12＜x＜13，则a－b的值是()A.－10B.－14C.10D.14答案A解析由题意知，－12，13是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以－12＋13＝－ba，－12×13＝2a，解得a＝－12，b＝－2.故a－b＝－10.4.(多选)(2022·青岛质检)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为()A.－12B.1C.－1D.2答案AC解析由题意知a＜0，则排除B，D；对于A，当a＝－12时，－12x－1(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.5.(2021·上海卷)不等式2x＋5x－2＜1的解集为________.答案(－7，2)解析2x＋5x－2＜1，即2x＋5x－2－1＜0，即x＋7x－2＜0，解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2).6.(易错题)不等式mx2＋mx＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.答案[0，4)解析当m＝0时，1＞0，不等式恒成立，当m≠0时，m＞0，Δ＝m2－4m＜0.得0＜m＜4.综上，0≤m＜4.考点一一元二次不等式的求解角度1不含参数的不等式例1(1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为()A.－1，32B.－32，1C.(－∞，－1)∪32，＋∞D.－∞，－32∪(1，＋∞)答案C解析－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即(x＋1)(2x－3)＞0，∴x＜－1或x＞32.(2)不等式1－x2＋x≥0的解集为()A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案B解析原不等式化为（1－x）（2＋x）≥0，2＋x≠0，即（x－1）（x＋2）≤0，x＋2≠0，解得－2＜x≤1.(3)不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.答案[－2，－1)∪(2，3]解析由题意得x2－x－2＞0，x2－x－6≤0，故x＞2或x＜－1，－2≤x≤3，即－2≤x＜－1或2＜x≤3.故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3].角度2含参数的不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).解原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，当a＞0时，所以x－1a(x－1)＜0，所以当a＞1时，解得1a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解得1＜x＜1a.当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1.当a＜0时，1a＜1，原不等式可化为x－1a(x－1)＞0，解得x＞1或x＜1a.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x|1＜x＜1a，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为x|1a＜x＜1，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}，当a＜0时，不等式的解集为x|x＜1a或x＞1.感悟提升含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.训练1解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).解将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}；当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.考点二三个二次之间的关系例3已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x|x＜－2或x＞－12，求不等式ax2－bx＋c＞0的解集.解由条件知－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，所以－2－12＝－ba，(－2)×－12＝ca，所以b＝52a，c＝a.从而不等式ax2－bx＋c＞0，即为ax2－52x＋1＞0.因为a＜0，所以原不等式等价于2x2－5x＋2＜0，即(x－2)(2x－1)＜0，解得12＜x＜2.所以不等式的解集为x|12＜x＜2.感悟提升1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.训练2若ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，有()A.f(5)＜f(2)＜f(－1)B.f(2)＜f(5)＜f(－1)C.f(－1)＜f(2)＜f(5)D.f(2)＜f(－1)＜f(5)答案D解析因为ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，所以a＞0，且－2，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－2＋4＝－ba，（－2）×4＝ca，所以b＝－2a，c＝－8a，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax－8a＝a(x2－2x－8)，其图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，所以f(2)＜f(－1)＜f(5).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数R上恒成立例4若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－2，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2，2]D.(－∞，2]答案C解析当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意.当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，需满足a－2＜0，Δ＝4（a－2）2＋4×4（a－2）＜0，解得－2＜a＜2.综上可知，a的取值范围为(－2，2].角度2在给定区间上恒成立例5(1)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.答案m0＜m＜67或m＜0解析要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则mx－122＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3].当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.法二因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可.因为m≠0，所以m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.(2)(2022·宁波模拟)若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________.答案－∞，916解析函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点等价于方程t2x2－(t＋1)x＋a＝0的根的判别式Δ＝(t＋1)2－4at2≥0对任意的t∈[1，2]恒成立，所以a≤（t＋1）24t2对任意的t∈[1，2]恒成立.令g(t)＝（t＋1）24t2＝141t＋12，t∈[1，2].因为t∈[1，2]，所以1t∈12，1，所以g(t)∈916，1，即（t＋1）24t2的最小值为916.故实数a的取值范围是－∞，916.角度3给定参数范围的恒成立问题例6已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞