第1节 导数的概念及运算

第1节导数的概念及运算考试要求1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.1.导数的概念(1)如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝0limxf（x＋Δx）－f（x）Δx.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.2.1f（x）′＝－f′（x）[f（x）]2(f(x)≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cosx.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sinx，则f′(x)＝－cosx，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.(多选)下列导数的运算中正确的是()A.(3x)′＝3xln3B.(x2lnx)′＝2xlnx＋xC.cosxx′＝xsinx－cosxx2D.(sinxcosx)′＝cos2x答案ABD解析因为cosxx′＝－xsinx－cosxx2，所以C项错误，其余都正确.3.(2021·全国甲卷)曲线y＝2x－1x＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案y＝5x＋2解析y′＝2x－1x＋2′＝2（x＋2）－（2x－1）（x＋2）2＝5（x＋2）2，所以y′|x＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝exx＋a.若f′(1)＝e4，则a＝________.答案1解析由f′(x)＝ex（x＋a）－ex（x＋a）2，可得f′(1)＝ea（1＋a）2＝e4，即a（1＋a）2＝14，解得a＝1.5.(2022·湖北九师联盟质量检测)已知函数f(x)＝x2＋xlnx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________.答案13解析因为f(x)＝x2＋xlnx，所以f′(x)＝2x＋lnx＋1，切线斜率k＝f′(1)＝2＋1＝3，又该切线与直线x－ay－1＝0平行，所以1a＝3，所以a＝13.6.(易错题)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为________.答案y＝0或27x－4y＝0解析函数y＝(x－1)3的导数为y′＝3(x－1)2，设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x0－1)3)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝3(x0－1)2.∵切线过原点(0，0)，∴k＝3(x0－1)2＝（x0－1）3－0x0－0，解得x0＝1或x0＝－12，则切点坐标为(1，0)或－12，－278，对应的斜率k＝0或k＝274，∴对应的切线方程为y＝0或y＋278＝274x＋12，即y＝0或27x－4y＝0.考点一导数的运算1.已知f(x)＝cos2x＋e2x，则f′(x)＝()A.－2sin2x＋2e2xB.sin2x＋e2xC.2sin2x＋2e2xD.－sin2x＋e2x答案A解析f′(x)＝－2sin2x＋2e2x，选A.2.(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是()A.f(x)＝x2B.f(x)＝e－xC.f(x)＝lnxD.f(x)＝tanx答案AC解析若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x，令lnx＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝sinxcosx′＝1cos2x，令tanx＝1cos2x，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D不符合要求.故选AC.3.若函数f(x)＝lnx－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝________.答案－143解析对f(x)求导，得f′(x)＝1x－2f′(1)x＋3，所以f′(1)＝1－2f′(1)＋3，解得f′(1)＝43，所以f′(x)＝1x－83x＋3，将x＝3代入f′(x)，可得f′(3)＝－143.4.求下列函数的导数.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex；(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.(3)y′＝cosxex′＝（cosx）′ex－cosx（ex）′（ex）2＝－sinx＋cosxex.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.感悟提升1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.考点二导数的几何意义角度1求切线方程例1(1)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.答案2x－y＝0解析设切点坐标为(x0，y0)，∵y＝lnx＋x＋1，所以y′＝1x＋1，∴切线的斜率为1x0＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.(2)设函数f(x)＝13x3＋43，则曲线y＝f(x)过P(2，4)的切线方程为________.答案x－y＋2＝0或4x－y－4＝0解析设切点为x0，13x30＋43，因为f′(x)＝x2，所以f′(x0)＝x20，从而得到切点处的切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，将(2，4)代入，化简得到x30－3x20＋4＝0，即(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.当x0＝－1时，切线方程为x－y＋2＝0；当x0＝2时，切线方程为4x－y－4＝0.角度2求曲线的切点坐标例2在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.答案(e，1)解析设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e).再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).角度3导数与函数图象问题例3已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.答案0解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题意可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.感悟提升1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)(2021·杭州二模)曲线f(x)＝2lnx在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是()A.2x－ey＝0B.2x＋ey＝0C.ex－2y＝0D.ex＋2y＝0答案A解析对f(x)＝2lnx求导得f′(x)＝2x，切线l的斜率k＝f′(t)＝2t，又直线l过原点，所以k＝2lntt＝2t，从而有lnt＝1，∴t＝e，从而得到k＝2e，故切线l的方程为y＝2ex，即2x－ey＝0.故选A.(3)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点