第2节 导数与函数的单调性

第2节导数与函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)上单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()(2)如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.()(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(3)反例，f(x)＝－1x，虽然f′(x)＝1x2＞0，但f(x)＝－1x，在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性.2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)＞f(c)＞f(d)B.f(b)＞f(a)＞f(e)C.f(c)＞f(b)＞f(a)D.f(c)＞f(d)＞f(e)答案CD解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a).当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(c，e)上是减函数，因为c＜d＜e，所以f(c)＞f(d)＞f(e).3.(2021·九江二模)函数f(x)＝lnx－x2的单调递增区间为________.答案0，22解析由题意可得函数的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝lnx－x2，∴f′(x)＝1x－2x＝1－2x2x.由f′(x)＞0可得1－2x2＞0，解得0＜x＜22，故函数的单调增区间为0，22.4.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.答案(－3，0)∪(0，＋∞)解析f′(x)＝3ax2＋6x－1，由题意得a≠0，Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3且a≠0.5.(易错题)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4],∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.6.(易错题)若y＝x＋a2x(a＞0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________.答案(0，2]解析法一由y′＝1－a2x2≥0，得x≤－a或x≥a.∴y＝x＋a2x的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞).∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.法二y′＝1－a2x2，依题意知1－a2x2≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立，∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a＞0，∴0＜a≤2.考点一不含参函数的单调性1.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A.f(x)＝sin2xB.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－xD.f(x)＝－x＋lnx答案B解析由于x＞0，对于A，f′(x)＝2cos2x，f′π3＝－1＜0，不符合题意；对于B，f′(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；对于C，f′(x)＝3x2－1，f′13＝－23＜0，不符合题意；对于D，f′(x)＝－1＋1x，f′(2)＝－12＜0，不符合题意.2.(2022·武汉模拟)函数f(x)＝2x2－lnx的单调递减区间是()A.－12，12B.12，＋∞C.0，12D.－∞，－12∪12，＋∞答案C解析∵函数f(x)＝2x2－lnx，∴f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x＝4x－12x＋12x.由f′(x)＜0，解得0＜x＜12，∴函数的单调递减区间是0，12.3.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的递增区间是________.答案－π，－π2和0，π2解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.考点二含参函数的单调性例1已知函数f(x)＝12ax2－(a＋1)x＋lnx，a0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.①当0a1时，1a1，∴x∈(0，1)和1a，＋∞时，f′(x)0；x∈1，1a时，f′(x)0，∴函数f(x)在(0，1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；②当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；③当a1时，01a1，∴x∈0，1a和(1，＋∞)时，f′(x)0；x∈1a，1时，f′(x)0，∴函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.综上，当0a1时，函数f(x)在(0，1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上单调递减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a1时，函数f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在1a，1上单调递减.感悟提升1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1讨论函数f(x)＝1x－x＋alnx的单调性.解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1x2－1＋ax＝－x2－ax＋1x2.设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0，1)，开口向上，对称轴为x＝a2，①当a2≤0，即a≤0时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a2＞0，即a＞0时，令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，(ⅰ)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.故a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(ⅱ)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得x＝a－a2－42或x＝a＋a2－42.当x∈0，a－a2－42∪a＋a2－42，＋∞时，f′(x)0；当x∈a－a2－42，a＋a2－42时，f′(x)0.所以f(x)在0，a－a2－42，a＋a2－42，＋∞上单调递减，在a－a2－42，a＋a2－42上单调递增.考点三根据函数的单调性求参数例2已知g(x)＝2x＋lnx－ax.(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.解(1)g(x)＝2x＋lnx－ax(x0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x0).∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.∴实数a的取值范围是[－3，＋∞).(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，则g′(x)＞0在[1，2]上有解，即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min，又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－10.迁移(1)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围.解依题意g′(x)＝2＋1x＋ax2在[1，2]上满足g′(x)≤0恒成立，∴当x∈[1，2]时，a≤－2x2－x恒成立，又t＝－2x2－x＝－2x＋142＋18，x∈[1，2]是减函数，∴当x＝2时，t＝－2x2－x取得最小值－10.所以a≤－10，即实数a的取值范围为(－∞，－10].(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.解∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，则a＝－2x2－x＝－2x＋142＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，∴y＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，因此实数a的取值范围为(－10，－3).感悟提升根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.训练2若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A.[－1，1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13答案C解析∵f(x)＝x－13sin2x＋asinx，∴f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53.由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立.令t＝cosx，t∈[－1，1]，则－43t2＋at＋53≥0，在t∈[－1，1]上恒成立.∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1，1]上恒成立.令g(t)＝4t2－3at－5，则g（1）＝－3a－1≤0，g（－1）＝3a－1≤0.解之得－13≤a≤13.考点四函数单调性的应用角度1比较大小例3(多选)(2021·淄博二模)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是()A.ln2＞2eB.ln3＜3eC.lnπ＞πeD.ln3lnπ＜3π答案ACD解析令g(x)＝lnxx，则g′(x)＝1－lnxx2，当0＜x＜e时，g′(