第3节 导数与函数的极值、最值

第3节导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.1.函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x0为极值点.()(2)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.()(3)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.()(4)函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(3)反例：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号为左负右正.3.(多选)(2022·青岛月考)已知f(x)＝3xex，则f(x)()A.在(－∞，＋∞)上单调递减B.在(－∞，1)上单调递增C.有极大值3e，无极小值D.有极小值3e，无极大值答案BC解析由题意知f′(x)＝3（1－x）ex，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增，x＞1时，f′(x)＜0，f(x)递减，f(1)是函数的极大值，也是最大值f(1)＝3e，函数无极小值.4.(2021·新乡三模)某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：℃，20≤x≤40)的关系式为y＝1910x2－130x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为()A.907元B.910元C.915元D.920元答案C解析∵y＝1910x2－130x3，20≤x≤40，∴y′＝195x－110x2＝－110x(x－38).∴当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时，y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减，∴当x＝38时，函数取值最大值，∴ymax＝1910×382－130×383≈915.5.(易错题)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(2a)2－4×3×2＞0，解得a＞6或a＜－6.6.若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________.答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3]时，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增.又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.考点一利用导数求函数的极值角度1根据函数图象判断极值例1(多选)(2022·重庆检测)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点答案AC解析根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增，可知－3是函数y＝f(x)的极值点，所以A正确.因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误.感悟提升由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a＝12时，f(x)＝lnx－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝2－x2x，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无极小值.(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－axx.当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x∈0，1a，则f′(x)0，若x∈1a，＋∞，则f′(x)0，故函数在x＝1a处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝1a.感悟提升运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.角度3由函数的极值求参数例3设函数g(x)＝lnx－mx＋mx，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围.解∵g(x)＝lnx－mx＋mx，∴g′(x)＝1x－m－mx2＝x－mx2－mx2＝－mx2－x＋mx2，令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在两个极值点x1，x2，则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2.∵12m＞0，∴h(0)＝m＞0，故只需满足h（0）＞0，12m＞0.h12m＜0即可，解得0＜m＜12.故m的取值范围为0，12.感悟提升1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.训练1(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x－2时，f′(x)0；当－2x1时，f′(x)0；当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.(2)设函数f(x)＝ax2＋（4a－2）x＋4a－6ex，若f(x)在x＝－2处取得极大值，求a的取值范围.解因为f(x)＝ax2＋（4a－2）x＋4a－6ex，所以f′(x)＝（2ax＋4a－2）ex－[ax2＋（4a－2）x＋4a－6]exe2x＝－（ax－2）（x＋2）ex.若a≠0，令f′(x)＝0，则x＝2a或x＝－2，当2a＞－2时，即2＋2aa＞0，∴a＞0或a＜－1.①若a＜－1时，x(－∞，－2)－2－2，2a2a2a，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值此时，f(x)在x＝－2处取得极大值，符合题意.②若a＞0时，当x＜－2或x＞2a时，f′(x)＜0，当－2＜x＜2a时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意；③若2a＜－2，即－1＜a＜0时，当x＜2a或x＞－2时，f′(x)＞0，当2a＜x＜－2时，f′(x)＜0，∴f(x)在x＝－2处取得极小值，不符合题意；④若2a＝－2，即a＝－1时，f′(x)≥0，f(x)无极值，不符合题意；⑤若a＝0时，f′(x)＝2（x＋2）ex，当x＜－2时，f′(x)＜0，当x＞－2时，f′(x)＞0，∴f(x)在x＝－2处取得极小值，不符合题意.综上，a的取值范围为(－∞，－1).考点二利用导数求函数的最值例4(2021·北京卷)已知函数f(x)＝3－2xx2＋a.(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值.解(1)当a＝0时，f(x)＝3－2xx2，则f′(x)＝x2·（－2）－（3－2x）·2xx4＝2x－6x3.当x＝1时，f(1)＝1，f′(1)＝－4，故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得4x＋y－5＝0.(2)已知函数f(x)＝3－2xx2＋a，则f′(x)＝（x2＋a）·（－2）－（3－2x）·2x（x2＋a）2＝2（x2－3x－a）（x2＋a）2.若函数f(x)在x＝－1处取得极值，则f′(－1)＝0，即2（4－a）（a＋1）2＝0，解得a＝4.经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意.此时f(x)＝3－2xx2＋4，其定义域为R，f′(x)＝2（x－4）（x＋1）（x2＋4）2，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4.f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表：x(－∞，－1)－1(－1，4)4(4，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4).极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－14.又因为x32时，f(x)0；x32时，f(x)0，所以函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，最小值为f(4)＝－14.感悟提升1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.训练2已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.解(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋1x＝1－xx，令