第1节 函数的概念及其表示

第1节函数的概念及其表示考试要求1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.1.函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}2.同一个函数(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域可以为B的子集.(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案C解析A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.3.(2020·北京卷)函数f(x)＝1x＋1＋lnx的定义域是__________.答案(0，＋∞)解析要使函数有意义，需满足x＋1≠0，x＞0，即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).4.(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝x2－4，x2，|x－3|＋a，x≤2.若f(f(6))＝3，则a＝________.答案2解析因为62，所以f(6)＝6－4＝2，所以f(f(6))＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.5.(易错题)已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案x2－1(x≥0)解析令t＝x，则t≥0，故x＝t2，则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).6.函数f(x)＝x－1x在区间[2，4]上的值域为________.答案32，154解析f(x)＝x－1x在区间[2，4]上单调递增，又f(2)＝32，f(4)＝154，故f(x)的值域为32，154.考点一函数的概念1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案C解析根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.2.(多选)下列各组函数是同一函数的为()A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B.f(x)＝x－1，g(x)＝x2－1x＋1C.f(x)＝x2，g(x)＝x，x≥0，－x，x＜0D.f(x)＝－x3，g(x)＝x－x答案AC解析同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.答案③解析③中，f：x→y＝23x，x∈[0，4]时，y＝23x∈0，83Q,故不满足函数的定义.感悟提升（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同考点二求函数的定义域1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋1x－2的定义域为()A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)答案C解析要使函数有意义，则4x－x2＞0，x－2≠0，解得0＜x＜4且x≠2.2.函数f(x)＝lnx·lgx＋22－x的定义域是()A.[1，2]B.[2，＋∞)C.[1，2)D.(1，2]答案C解析根据函数f(x)的解析式，有（x＋2）（2－x）＞0，x＞0，lnx≥0，解得1≤x＜2，所以函数f(x)的定义域为[1，2).3.已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝f（2x－1）ln（1－x）的定义域是()A.[0，1]B.(0，1)C.[0，1)D.(0，1]答案B解析由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).4.已知函数f(x)＝3x－1ax2＋ax－3的定义域是R，则实数a的取值范围是()A.13，＋∞B.(－12，0]C.(－12，0)D.－∞，13答案B解析因为函数f(x)＝3x－1ax2＋ax－3的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a0，解得－12a0.综上所述，实数a的取值范围为－12a≤0.感悟提升1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.考点三求函数的解析式例1求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7，∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.感悟提升函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与f1x或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).训练1(1)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3(x≥1)解析令t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).(2)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为________.答案f(x)＝3x－2解析∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b，k≠0，则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b.∵2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，∴（4k＋2b）－（3k＋3b）＝5，2b－（－k＋b）＝1，解得k＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x－2.(3)已知f(x)满足f(x)－2f1x＝2x，则f(x)＝________.答案－2x3－43x解析∵f(x)－2f1x＝2x，①以1x代替①中的x，得f1x－2f(x)＝2x，②①＋②×2得－3f(x)＝2x＋4x，∴f(x)＝－2x3－43x.考点四分段函数角度1分段函数求值例2(1)(2021·枣庄二模)已知函数f(x)＝ex＋ln2，x≤0，f（x－3），x＞0，则f(2021)＝()A.2eB.2eC.2e2D.2e2答案A解析由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，因而f(2021)＝f(3×673＋2)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝e－1＋ln2＝2e.(2)已知函数f(x)＝x＋1，－1x0，2x，x≥0.若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f1a＝()A.2B.4C.6D.8答案D解析由f(x)的定义域，知a0.当0a1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝a，解得a＝14，则f1a＝f(4)＝8；当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解.综上可知，f1a＝8.角度2分段函数与方程、不等式问题例3(1)已知函数f(x)＝2x，x＞0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A.－3B.－1C.1D.3答案A解析∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.(2)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________.答案－14，＋∞解析由题意得：当x12时，2x＋2x－121恒成立，即x12；当0x≤12时，2x＋x－12＋11恒成立，即0x≤12；当x≤0时，x＋1＋x－12＋11，∴x－14，即－14x≤0.综上x的取值范围是－14，＋∞.感悟提升1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段