第4节 幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数考试要求1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a0)y＝ax2＋bx＋c(a0)图象(抛物线)定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在－∞，－b2a上是减函数；在－b2a，＋∞上是增函数在－∞，－b2a上是增函数；在－b2a，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a0，Δ0时，恒有f(x)0；当a0，Δ0时，恒有f(x)0.3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x13是幂函数.()(2)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.()(3)当n是偶数时，幂函数y＝xnm(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是4ac－b24a.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x13不是幂函数，故(1)错误.(4)对称轴x＝－b2a，当－b2a不在给定定义域内时，最值不是4ac－b24a，故(4)错误.2.(2021·青岛联考)不等式(x2＋1)12(3x＋5)12的解集为()A.－53，－1∪(4，＋∞)B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案A解析不等式(x2＋1)12(3x＋5)12等价于x2＋13x＋5≥0，解得－53≤x－1或x4.所以原不等式的解集为－53，－1∪(4，＋∞).3.函数y＝x－23的大致图象是()答案B解析由幂函数的性质可知，函数y＝x－23的图象在(0，＋∞)上单调递减，故A、C错误；函数y＝x－23为偶函数，故D错误.4.已知α∈－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.答案－1解析由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α0，取α＝－1.5.(易错题)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n＝________.答案1解析由题意知n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验n＝1符合题意.6.(2022·杭州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b(a＞1)的定义域和值域都为[1，a]，则b＝________.答案5解析f(x)＝x2－2ax＋b的图象关于x＝a对称，所以f(x)在[1，a]上为减函数，又f(x)的值域为[1，a]，所以f（1）＝1－2a＋b＝a，f（a）＝a2－2a2＋b＝1.∴a＝2，a＝1(舍)，∴b＝5.考点一幂函数的图象和性质1.已知幂函数y＝xpq(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则()A.p，q均为奇数，且pq＞1B.q为偶数，p为奇数，且pq＞1C.q为奇数，p为偶数，且pq＞1D.q为奇数，p为偶数，且0＜pq＜1答案D解析由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数.因为幂函数y＝xpq的图象在第一象限内向上凸起，且在(0，＋∞)上单调递增，所以0＜pq＜1.2.(2021·衡水调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f13，b＝f(lnπ)，c＝f(2－12)，则a，b，c的大小关系是()A.acbB.abcC.bcaD.bac答案A解析由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，又lnπ12－12＝2213，所以f(lnπ)f(2－12)f13，则bca.3.若a＝1223，b＝1523，c＝1213，则a，b，c的大小关系是()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c答案D解析因为y＝x23在第一象限内是增函数，所以a＝1223＞b＝1523，因为y＝12x是减函数，所以a＝1223＜c＝1213，所以b＜a＜c.4.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－1b＝________.答案0解析BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M13，23，N23，13，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log1323，b＝log2313，∴a－1b＝log1323－1log2313＝0.感悟提升(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.考点二求二次函数的解析式例1(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0.请写出函数f(x)的一个解析式________.(只要写出一个即可)答案f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)解析由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.答案－4x2＋4x＋7解析法一(利用“一般式”)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“顶点式”)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12，∴m＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三(利用“零点式”)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－（－a）24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函数解析式的方法训练1(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f(x)＝________.答案x2＋2x解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象与性质角度1二次函数的图象例2(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为()A.b2＞4acB.2a－b＝1C.a－b＋c＝0D.5a＜b答案AD解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确.对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误.结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误.由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.感悟提升1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2二次函数的单调性与最值例3已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线x＝－32∈[－2，3]，∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－214，f(x)max＝f(3)＝15，∴f(x)的值域为－214，15.(2)函数图象的对称轴为直线x＝－2a－12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.综上可知，a＝－13或－1.感悟提升闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是