第5节 指数与指数函数

第5节指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作n0＝0.③(na)n＝a(n∈N*，且n1).④nan＝a(n为大于1的奇数).⑤nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈R.4.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，y1；当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数y＝ax与y＝1ax的图象关于y轴对称1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.2.指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞).()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错误.(2)当mn1时，不可以，故(2)错误.(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错误.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错误.2.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A.y＝x2B.y＝2xC.y＝2xD.y＝3x－1答案CD解析y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝2x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝2x的值域为(0，＋∞)；y＝3x－1的值域为(0，＋∞).3.(2021·日照检测)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案A解析易知f(x)为偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正确.4.(易错题)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________.答案2解析依题意a2－3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝2.5.已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是________.答案c＜b＜a解析∵y＝35x是R上的减函数，∴35－13＞35－14＞350，即a＞b＞1，又c＝32－34＜320＝1，∴c＜b＜a.6.(2022·重庆月考)计算：32－13×－760＋814×42－＝________.答案2解析原式＝2313×1＋234×214－2313＝2.考点一指数幂的运算1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝R0－1T＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，∴t2－t1＝ln20.38≈0.690.38≈1.8.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.答案0解析＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.3.计算：14－12·（4ab－1）3（0.1）－1·（a3·b－3）12＝________(a＞0，b＞0).答案85解析原式＝2·432a32b－3210a32b－32＝85.4.若x12＋x－12＝3，则x32＋x－32－3x2＋x－2－2＝________.答案13解析由x12＋x－12＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.x32＋x－32＝(x12)3＋(x－12)3＝(x12＋x－12)(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴x32＋x－32－3x2＋x－2－2＝13.感悟提升(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)＝|2x－1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是()A.a0，b0，c0B.a0，b≥0，c0C.2－a2cD.2a＋2c2答案D解析作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵abc且f(a)f(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，c0，∴02a1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)1，∴0c1.∴12c2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)f(c)，∴1－2a2c－1，∴2a＋2c2.(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.答案[－1，1]解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].感悟提升1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.训练1(1)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是()A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案D解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).(2)(多选)(2021·济南调研)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，则下列关系式成立的是()A.0baB.ab0C.0abD.a＝b答案ABD解析如图，观察易知a，b的关系为ab0或0ba或a＝b＝0.考点三指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小例2(1)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b答案A解析a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，∵幂函数y＝x13在R上单调递增，所以a＜c，∵指数函数y＝16x在R上单调递增，∴b＜a，即b＜a＜c.(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0答案D解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.答案12解析当a1时，41－a＝21，解得a＝12；当a1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解，故a的值为12.(2)(2022·湖南五市联考)设函数f(x)＝12x－7，x＜0，x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案C解析当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为12a－7＜1，即12a＜8，即12a＜12－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，即0≤a＜1.故a的取值范围是(－3，1).角度3与指数函数有关的复合函数的单调性例4(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减.而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].(2)函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调递减区间为________.答案(－∞，1]解析设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间.又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1].(3)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集为________.答案－∞，－13∪(1，＋∞)解析由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数，则f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0，即f(t2－2t)＜－f(2t2－1)＝f(1－2t2).所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1或t＜－13.角度4函数的最值(值域)问题例5(1)(2021·沈阳期末)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.答案34，57解析因为x∈[－3，2]，所以若令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数值域为34，57.(2)若函数f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19，则f(x)的单调递增区间是________.答案(