第6节 对数与对数函数

第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝logcblogca(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba(a0，且a≠1；b0，且b≠1).(2)logambn＝nmlogab(a0，且a≠1；b0；m，n∈R，且m≠0).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.()(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误.(2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误.(4)若0b1a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.2.log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A.0B.2C.4D.6答案D解析原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.3.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝()A.116B.19C.18D.16答案B解析法一因为alog34＝2，所以log34a＝2，则4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19.法二因为alog34＝2，所以a＝2log34＝2log43＝log432＝log49，所以4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝19.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判断正确的是()A.cbaB.bacC.acbD.abc答案C解析a＝log52log55＝12＝log822log83＝b，即acb.5.函数y＝loga(x－1)＋2(a0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.答案(2，2)解析当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).6.(易错题)已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间23，34上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是________.答案12，1解析由题意得a＞1，2×23－a＞1，或0＜a＜1，0＜2×34－a＜1，解得12＜a＜1.考点一对数的运算1.设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B.10C.20D.100答案A解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.2.计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝________.答案1解析原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.3.已知ab1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.答案42解析设logba＝t，则t1，因为t＋1t＝52，所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又ab1，解得b＝2，a＝4.4.(多选)(2022·北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式C＝Wlog21＋SN是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫作信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg5≈0.6990)()A.若不改变信噪比SN，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍C.若不改变信道带宽W，而将信噪比SN从255提升至1023，则C增加了25%D.若不改变信道带宽W，而将信噪比SN从999提升至4999，则C大约增加了23.3%答案ACD解析A正确；对于B，因为Wlog21＋2SN≠Wlog21＋2SN＋SN2＝2Wlog21＋SN，所以B错误；对于C，若将信噪比SN从255提升至1023，则Wlog2（1＋1023）Wlog2（1＋255）－1＝log2210log228－1＝108－1＝14，所以C增加了25%，所以C正确；对于D，若将信噪比SN从999提升至4999，则Wlog2（1＋4999）Wlog2（1＋999）－1＝log25000log21000－1＝lg5000lg1000－1＝lg5＋33－1＝lg53≈0.233，所以D正确.感悟提升1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用例1(1)(多选)(2021·重庆一模)a，b，c∈R，且b＞0，若ea＝lnb＝1c，则a，b，c的大小关系可以是()A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.a＜c＜b答案ACD解析设ea＝lnb＝1c＝m，如图，在同一坐标系中画出函数y＝ex，y＝lnx，y＝1x的图象，当直线y＝m与三者都相交时，交点的横坐标即为a，b，c的值，由图知，当m从大到小时，依次出现c＜a＜b、a＜c＜b、a＜b＜c.故选ACD.(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.答案(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点.(3)已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则1a＋b＝________.答案4解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，由图知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝12，∴b＝2，∴1a＋b＝4.感悟提升1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1(1)图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取3，43，35，110四个值，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35答案A解析作直线y＝1，由logax＝1得x＝a，则对应C1，C2，C3，C4的a值依次为3，43，35，110.(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1)B.(1，2)C.(1，2]D.0，12答案C解析设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可.当0＜a＜1时，显然不成立.当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2.考点三对数函数的性质及应用角度1比较大小例2(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.c＞b＞a答案A解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c.(2)(2021·天津卷)设a＝log20.3，b＝log120.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜c＜aD.a＜c＜b答案D解析∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0.∵log120.4＝－log20.4＝log252＞log22＝1，∴b＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b.角度2解对数不等式例3(2022·湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log13(2x－5))＞f(log38)的解集为________.答案52，4116∪132，＋∞解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(log13(2x－5))＞f(log38)化为|log13(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log318，即2x－5＞8或0＜2x－5＜18，解得x＞132或52＜x＜4116.角度3对数函数性质的综合应用例4(1)(多选)已知函数f(x)＝ln2x＋12x－1，下列说法正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)在12，＋∞上单调递减D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)答案ACD解析f(x)＝ln2x＋12x－1，令2x＋12x－1＞0，解得x＞12或x＜－12，∴f(x)的定义域为－∞，－12∪12，＋∞，又f(－x