第9节 函数模型及其应用

第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax0xn0logax0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a0)的增长速度.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99(元).∴每件赔1元，(1)错误.(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.(3)如a＝x0＝12，n＝14，不等式成立，因此(3)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案C解析由题意知4.9＝5＋lgV，得lgV＝－0.1，得V＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(多选)(2021·青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案BCD解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余全部正确.4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为()A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶C.12元/瓶D.6元/瓶答案D解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)400＋4－x0.5×40＝80(x－3)·(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值.5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A.y＝2xB.y＝x2－1C.y＝2x－2D.y＝log2x答案D解析当x＝0.99时，y＝0.01，可排除A，当x＝2.01时，y＝0.98，可排除B、C，故选D.6.(2022·北京丰台一模)大气压强p＝压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”(Pa.1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，p1p2＝12.那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln2≈0.693)()A.550mB.1818mC.5500mD.8732m答案C解析p1p2＝p0·e－k·h1p0·e－k·h2＝e－k·h1e－k·h2＝ek·h2－k·h1＝12，故h1－h2＝ln2k≈0.6930.000126＝5500m.考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程1.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳答案D解析由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D.2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).答案①解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.答案②103解析由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点4，73，则后三个模型的解析式分别为②y＝13＋log2t；③y＝12t＋13；④y＝t＋13，当t＝1时，代入④中，得y＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②式，得y＝13＋log28＝103(米).感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.考点二已知函数模型解决实际问题例1(2021·承德二模)我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y＝y0·ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y0表示t＝0时的人口数(单位：亿)，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)()A.14.30亿B.15.20亿C.14.62亿D.15.72亿答案A解析由马尔萨斯人口增长模型，得13.33＝12.43e10r，即e10r＝13.3312.43，所以我国2020年年末的全国总人口数约为y＝13.33e10r＝13.33212.43＝177.688912.43≈14.30(亿).感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.训练1(2021·益阳二模)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分记录y4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋110lg1x，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(参考数据：10－0.3≈0.5，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8答案B解析由题中数据可知，当x＝1时，y＝5，两个函数模型都符合；当x＝0.1时，由y＝5＋lgx，得y＝5＋lg0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋110lg1x＝5.1，与表中的数据不符，所以选择模型y＝5＋lgx更合适，此时令y＝4.7，则lgx＝－0.3，所以x＝10－0.3≈0.5.考点三构造函数模型解决实际问题角度1构造二次函数模型例2某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]答案A解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需30－52R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].角度2构造指数、对数函数模型例3(1)(2022·青岛检测)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3答案C解析设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，则有y＝14x.依题意得14x≤1100.则22x≥100，解得x≥4.所以至少需要的年数是4.(2)(2022·武汉检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍答案B解析设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1W/m2，x2W/m2，根据题意得d(x1)＝9lgx11×10－13＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lgx21×10－13＝54，解得x2＝10－7，所以x1x2＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.角度3构建