第2节 平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.平面向量的基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√解析(1)共线向量不可以作为基底.(3)若b＝(0，0)，则x1x2＝y1y2无意义.2.(2022·合肥质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为()A.－65，85B.(－6，8)C.65，－85D.(6，－8)答案D解析因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ0，则|b|＝9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8).3.(多选)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(m＋1，m－2)，若A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A.－2B.12C.1D.－1答案ABD解析各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形.因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC→＝OC→－OA→＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选ABD.4.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE→＝－2DE→，若EF→＝xAB→＋yAD→，则x＋y＝()A.1B.6C.16D.13答案C解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＝DC→，AD→＝BC→，因为CE→＝－2DE→，所以EC→＝23AB→，EF→＝EC→＋CF→＝23AB→－12BC→＝23AB→－12AD→，又因为EF→＝xAB→＋yAD→，所以x＝23，y＝－12，故x＋y＝16.5.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB→反向的单位向量为________.答案－1213，513解析由已知得AB→＝(12，－5)，所以|AB→|＝13，因此与AB→反向的单位向量为－113AB→＝－1213，513.6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________.答案2解析易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.考点一平面向量基本定理的应用例1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→等于()A.13a＋512bB.13a－1312bC.－13a－512bD.－13a＋1312b答案C解析DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b.(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________.答案34解析如图所示.∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(1－x)CA→，又∵CP→＝23CA→＋13CB→，CM→＝tCP→，∴x2＝13t，1－x＝23t，解得t＝34.感悟提升(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.训练1(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ等于()A.15B.25C.35D.45答案D解析因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.(2)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点.若DC＝3DF，设AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b答案B解析如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，∴DF→＝13DC→＝13(OC→－OD→)＝16(AC→－BD→)，AD→＝OD→－OA→＝12BD→＋12AC→.则AF→＝AD→＋DF→＝12BD→＋12AC→＋16(AC→－BD→)＝13BD→＋23AC→＝23a＋13b，故选B.考点二平面向量的坐标运算1.在平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO→的坐标为()A.－12，5B.12，5C.－12，－5D.12，－5答案C解析因为在平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以CO→＝－AO→＝－12(AD→＋AB→)＝－12，－5.2.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A.1B.2C.3D.4答案D解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝AO→＝(－1，1)，b＝OB→＝(6，2)，c＝BC→＝(－1，－3).∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.3.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC→|＝2|AC→|，则向量OB→的坐标是________.答案(4，7)解析由点C是线段AB上一点，|BC→|＝2|AC→|，得BC→＝－2AC→.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即2－x＝－2，3－y＝－4，解得x＝4，y＝7.所以向量OB→的坐标是(4，7).4.如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________.答案6解析以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1，0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°).即A(1，0)，C(3，3)，B－12，32.由OC→＝λOA→＋μOB→得，λ－12μ＝3，32μ＝3.∴μ＝2，λ＝4.∴λ＋μ＝6.感悟提升平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考点三平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求参数例2(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________.答案12解析2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝12.(2)已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.答案－23解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2).因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.角度2利用向量共线求向量或点的坐标例3已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________.答案(3，3)解析法一由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC→－OA→＝(－2，6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3).法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4，4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2，6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3).感悟提升1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.训练2平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标.解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝5，∴4（x－4）－2（y－1）＝0，（x－4）2＋（y－1）2＝5，解得x＝3，y＝－1，或x＝5，y＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).等和线的应用等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP→＝