第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ＝0Δ0几何观点drd＝rdr2.圆与圆的位置关系已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心距d＝|C1C2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.则两圆C1，C2有以下位置关系：位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系dr1＋r2d|r1－r2||r1－2|dr1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2图示公切线条数402131.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝1＋k2·（xM＋xN）2－4xM·xN.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆，且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A.0＜m＜1B.－1＜m＜0C.m＜1D.－3＜m＜1答案AB解析联立直线与圆的方程得x－y＋m＝0，x2＋y2－2x－1＝0，消去y，得2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，根据题意得Δ＝(2m－2)2－8(m2－1)＝－4(m＋1)2＋16＞0，得－3＜m＜1.∵{m|0＜m＜1}{m|－3＜m＜1}，{m|－1＜m＜0}{m|－3＜m＜1}，∴0＜m＜1和－1＜m＜0都是直线与圆相交的充分不必要条件.3.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2.若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2r2，所以d＝r2a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2r2，所以d＝r2a2＋b2|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确.4.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是________.答案内切5.直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.答案10解析由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝5.又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝|3－2－6|9＋1＝102，由|AB|22＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝10.6.(2020·浙江卷)已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝__________，b＝__________.答案33－233解析如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的交点为A(2，0).由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，可得直线的斜率k＝tan30°＝33，直线方程为y＝33(x－2)＝33x－233，因此b＝－233.考点一直线与圆的位置关系1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定答案B解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交.2.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有()A.直线l恒过定点(3，1)B.直线l与圆C相切C.直线l与圆C恒相交D.直线l与圆C相离答案AC解析将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由x＋y－4＝0，2x＋y－7＝0，解得x＝3，y＝1.则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确.3.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A.(2＋1，＋∞)B.(2－1，2＋1)C.(0，2－1)D.(0，2＋1)答案A解析计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图.直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.考点二圆的切线、弦长问题角度1圆的弦长问题例1(1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4，－3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.过原点的最短弦长为8D.圆M被y轴截得的弦长为6答案ABD解析圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C不正确.ABD均正确.(2)(2020·天津卷)已知直线x－3y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.答案5解析由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝|0－3×0＋8|1＋3＝4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.在Rt△OMA中，r＝|AB|22＋d2＝5.感悟提升弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2.角度2圆的切线问题例2(1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.答案x＝2或4x－3y＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k－1＋4－2k|k2＋（－1）2＝|3－k|k2＋1＝1，解得k＝43，∴所求切线方程为43x－y＋4－2×43＝0，即4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为()A.(2，1)B.(2，2)C.(2，2)D.(2，0)答案C解析如图所示.设切点为A，B，则OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB，AP＝BP，AP⊥BP，故四边形OAPB为正方形，则|OP|＝6，又xP＝2，则P(2，2).感悟提升求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练1(1)(2022·郑州调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为()A.±3B.±2C.±32D.±22答案A解析圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1的圆心为C(1，－1)，半径为1，故|CB|＝|CA|＝1，又△CAB为等边三角形，所以点C到直线kx＋y＋1＝0的距离为32，即|k|12＋k2＝32，解得k＝±3，故选A.(2)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.答案102解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝10，圆心(1，3)与E(0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝102.(3)若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.答案－43或－34解析点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1.化为24k2＋50k＋24＝0，∴k＝－43或k＝－34.考点三圆与圆的位置关系例3已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×（11）2－|4＋3×3－23|42＋322＝27.感悟提升1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练2(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a