第7节 解三角形的应用

第7节解三角形的应用考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°答案D解析由条件及图可知，A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A.502mB.503mC.252mD.2522m答案A解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，∴AB＝ACsin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m).4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为()A.102mB.20mC.203mD.40m答案D解析设电视塔的高度为xm，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.5.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距53海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里.答案52解析由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即53sin60°＝BCsin45°，得BC＝52.考点一解三角形应用举例角度1测量距离问题例1(2022·廊坊模拟)如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)()(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646)A.39米B.43米C.49米D.53米答案D解析在△ACB中，AB＝60，BC＝60，∠ABC＝60°，所以AC＝60，在△CDA中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos60°＝602＋402－2×60×40×12＝2800，所以AD＝207≈53(米).感悟提升距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.角度2测量高度问题例2(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473答案B解析如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝100tan15°.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，则BD＝A′B′＝C′B′·sin45°sin75°，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝C′B′·sin45°sin75°，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝C′B′·sin45°sin75°＋100＝100tan15°·sin45°sin75°＋100＝100sin45°sin15°＋100＝100×2222×32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.感悟提升1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.角度3测量角度问题例3已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？参考数据：sin38°≈5314，sin22°＝3314解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.感悟提升1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.训练1(2022·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.答案805解析由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝80sin150°sin15°＝406－24＝40(6＋2).在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，得BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝80×sin15°12＝160sin15°＝40(6－2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝805，故图中海洋蓝洞的口径为805.考点二求解平面几何问题例4(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.(1)若AB＝32，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解(1)如图所示，在△ABD中，由余弦定理可知，cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝322＋12－122×32×1＝34.∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝34.在△BCD中，由余弦定理可得，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝12＋12－2×1×1×34，∴BC＝22.(2)设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.由余弦定理可知，cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝（2x）2＋12－122×2x×1＝x，①cos∠BDC＝CD2＋BD2－BC22CD·BD＝12＋12－x22×1×1＝2－x22.②∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD.联立①②，可得2－x22＝x，整理得x2＋2x－2＝0，解得x1＝3－1，x2＝－3－1(舍去).将x1＝3－1代入②，解得cos∠BDC＝3－1.感悟提升平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.训练2如图，在△ABC中，点P在边BC上，C＝π3，AP＝2，AC·PC＝4.(1)求∠APB；(2)若△ABC的面积为532，求sin∠PAB.解(1)在△APC中，设AC＝x，因为AC·PC＝4，所以PC＝4x，又因为C＝π3，AP＝2，由余弦定理得AP2＝AC2＋PC2－2·AC·PC·cosπ3，即22＝x2＋4x2－2·x·4x·cosπ3，解得x＝2，所以AC＝PC＝AP，此时△APC为等边三角形，所以∠APB＝2π3.(2)由S△ABC＝12AC·BC·sinπ3＝532，解得BC＝5，则BP＝3，作AD⊥BC交BC于D，如图所示.由(1)知，在等边△APC中，AD＝3，PD＝1.在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2＝3＋16＝19.在△ABP中，由正弦定理得ABsin∠APB＝BPsin∠PAB，所以sin∠PAB＝3×3219＝35738.考点三三角函数与解三角形的交汇问题例5(2022·青岛质检)已知函数f(x)＝1－23sinxcosx－2cos2x＋m在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间；(2)若锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝0，求bc的取值范围.解(1)f(x)＝1－3sin2x－(1＋cos2x)＋m＝－(3sin2x＋cos2x)＋m＝－2sin2x＋π6＋m.由已知得2＋m＝3，所以m＝1，因此f(x)＝－2sin2x＋π6＋1.令2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，解得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z.因此函数f(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z.(2)由已知得－2sin2A＋π6＋1＝0，∴sin2A＋π6＝12，由0＜A＜π2得π6＜2A＋π6＜7π6.因此2A＋π6＝5π6，所以A＝π3.由正弦定理得bc＝sinBsinC＝sinπ3＋CsinC＝32cosC＋12sinCsinC＝32tanC＋12.因为△ABC为锐角三角形，所以0＜C＜π2，0＜B＝2π3－C＜π2，解得π6＜C＜π2，因此tanC＞33，那么12＜bc＜2.感悟提