高考重点突破课一 三角函数与解三角形

题型一利用正、余弦定理解三角形例1(12分)(2021·北京卷)已知在△ABC中，c＝2bcosB，C＝2π3.(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度.①c＝2b；②周长为4＋23；③面积为S△ABC＝334.[规范答题]解(1)由正弦定理bsinB＝csinC，得sinC＝csinBb，又c＝2bcosB，所以sinC＝2sinBcosB＝sin2B，又A，B，C为△ABC的内角，C＝2π3，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π，即B＝π6，又A＋B＋C＝π，所以A＝π6.……………………5分(2)由(1)知，c＝3b，故不能选①.……………………7分选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故周长为(4＋23)x＝4＋23，解得x＝1.从而BC＝AC＝2，AB＝23.……………………9分设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cosB＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝12＋1－AD243＝32，解得AD＝7.故BC边上的中线长为7.……………………12分选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝23x，故S△ABC＝12·2x·2x·sin120°＝3x2＝334，解得x＝32，从而BC＝AC＝3，AB＝3.……………………9分设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，得cosB＝AB2＋BD2－AD22·AB·BD＝9＋322－AD233＝32，解得AD＝212.故BC边上的中线长为212.……………………12分第一步利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步由三角方程或条件式求角第三步利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步检验易错易混、规范解题步骤得出结论训练1(2021·株洲一模)在①3sinB＝cosB＋1，②2bsinA＝atanB，③(a－c)sinA＋csinC＝bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝2，b＝3，若________，求角B的值与△ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解若选①：由3sinB＝cosB＋1，可得sinB－π6＝12，因为B∈(0，π)，所以B－π6＝π6，所以B＝π3，由正弦定理得sinA＝22，又因为a＜b，所以A＝π4.所以sinC＝sin5π12＝sinπ4＋π6＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6＝6＋24，所以S△ABC＝12absinC＝3＋34.若选②：由2bsinA＝atanB得2bsinAcosB＝asinB，结合正弦定理得cosB＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π3，以下解法与选①相同.若选③：由正弦定理，(a－c)sinA＋csinC＝bsinB可化简为a2－ac＋c2＝b2，而cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，因为B∈(0，π)，所以B＝π3，以下解法与选①相同.题型二三角形中角或边的最值、范围问题例2(2022·广州一模)在①cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0，②cos2B－3cos(A＋C)＝1，③bcosC＋33csinB＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a＋c＝1，________，求角B的大小和b的最小值.解选择条件①：由cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0，可得－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即－cosAcosB＋sinAsinB＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即sinAsinB－3sinAcosB＝0，因为sinA≠0，所以sinB－3cosB＝0，所以tanB＝3，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝1－3ac，因为ac≤a＋c22＝14，当且仅当a＝c＝12时等号成立，所以b2＝1－3ac≥1－34＝14，所以b≥12，即b的最小值为12.选择条件②：cos2B－3cos(A＋C)＝1，可得2cos2B－1＋3cosB＝1，即2cos2B＋3cosB－2＝0，解得cosB＝12或cosB＝－2(舍)，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.下同①.选择条件③：bcosC＋33csinB＝a，由正弦定理可得sinBcosC＋33sinCsinB＝sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，即33sinCsinB＝cosBsinC，因为sinC≠0，所以33sinB＝cosB，即tanB＝3，因为B∈(0，π)，所以B＝π3.下同①.感悟提升涉及求边的最值或取值范围，一般思路是(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用基本不等式求出范围或最值.训练2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________.(1)求C；(2)求c的取值范围.请从下列两个条件：①S＝34(a2＋b2－c2)；②3tanAtanB－tanA－tanB＝3中选一个条件补充到横线上并解决问题.解(1)补充①S＝34(a2＋b2－c2).由余弦定理可知2abcosC＝a2＋b2－c2，则S＝34·2abcosC＝32·abcosC，又S＝12·absinC，故可得tanC＝3，所以C＝π3.补充②3tanAtanB－tanA－tanB＝3.由3tanAtanB－tanA－tanB＝3，可得tan(A＋B)＝－3，故tanC＝3，所以C＝π3.(2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，又cosC＝12，a＋b＝1，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab.又a＋b≥2ab，a＞0，b＞0，∴0＜ab≤12，∴14≤1－3ab＜1，∴14≤c2＜1，∴12≤c＜1，∴c的取值范围为12，1.题型三三角形面积(周长)的最值或范围问题例3(2021·昆明质检)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acosB)＝3b.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC的面积的取值范围.解(1)由2(c－acosB)＝3b及正弦定理得2(sinC－sinAcosB)＝3sinB，所以2sin(A＋B)－2sinAcosB＝3sinB，即2cosAsinB＝3sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝32，又0＜A＜π，所以A＝π6.(2)因为a＝2，所以由正弦定理得b＝4sinB，c＝4sinC，所以S△ABC＝12bcsinA＝14bc＝4sinBsinC，因为C＝π－(A＋B)＝5π6－B，所以sinC＝sin5π6－B.所以S△ABC＝4sinBsin5π6－B＝4sinB12cosB＋32sinB＝2sinBcosB＋23sin2B＝sin2B－3cos2B＋3＝2sin2B－π3＋3.因为0＜B＜5π6，所以－π3＜2B－π3＜4π3.所以－32＜sin2B－π3≤1，所以0＜S△ABC≤2＋3，即△ABC的面积的取值范围是(0，2＋3].感悟提升三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法(1)三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解.(2)基本不等式法：利用正、余弦定理，面积(周长)公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解.训练3已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.2a＋b＝2ccosB，c＝3.(1)求角C；(2)延长线段AC到点D，使CD＝CB，求△ABD周长的取值范围.解(1)∵2a＋b＝2ccosB，∴根据余弦定理得2a＋b＝2c×a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.∵C∈(0，π)，∴C＝2π3.(2)由题意得△BCD为等边三角形，∴△ABD的周长为2a＋b＋3.∵asinA＝bsinB＝csinC＝332＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，∴2a＋b＝4sinA＋2sinB＝4sinA＋2sinπ3－A＝23sinA＋π6.∵A∈0，π3，∴A＋π6∈π6，π2，∴sinA＋π6∈12，1，∴2a＋b∈(3，23).∴△ABD周长的取值范围是(23，33).1.(2020·新高考山东卷)在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6，__________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.选条件①.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由①ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.选条件②.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②csinA＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝23.选条件③.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛盾.因此，选条件③时问题中的三角形不存在.2.(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－12.因为0Aπ，所以A＝2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin(π－A－B)＝3cosB－3sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sinB＋π3.又0Bπ3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋23.3.(2022·泰安一模)已知函数f(x)＝sinxcosx＋π6＋cos2x.(1)求f(x)在0，π4上的最值；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，fA2＝1，a＝23，△ABC的面积为3，求sinB＋sinC的值.解(1)f(x)＝sinx32cosx－12sinx＋cos2x＝32sinxcosx－12sin2x＋cos2x＝34sin2x－1－cos2x4＋1＋cos2x2＝34sin2x＋34cos2x＋14＝32sin2x＋π3＋14.∵x∈0，π4，∴π3≤2x＋π3≤5π6，∴12≤sin2x＋π3≤1，∴当x∈0，π4时，f(x)min＝3＋14，f(x)max＝23＋14.(2)fA2＝32sinA＋π3＋14＝1，则sinA＋π3＝32，∵A∈(0，π)，∴A＋π3∈π3，4π3，∴A＝π3.∵S△ABC＝12bcsinA＝34bc＝3，∴bc＝4.又a＝23，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－128＝（b＋c）2－208＝12，∴(b＋c)2＝24，∴b＋c＝26，又asinA＝