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考点03不等式（9种题型11个易错考点）考题考点考向2022新高考2，第12题基本不等式利用基本不等式求最值2020新高考1，第11题不等式的概念和性质比较大小本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。（多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥﹣2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，令，则，∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知故C对，D错，方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，∴x2+y2≤2，故C对；∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，∴，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．（多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一.不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．二．不等关系与不等式①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．三．不等式比较大小不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．四．基本不等式及其应用1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】四、考点清单技巧一：凑项技巧二：凑系数技巧三：分离技巧四：换元五．不等式的综合1、不等式的性质2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．3、常用不等式4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论．常用的放缩技巧有：5．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0△＞0（＝0，＜0）；（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．6．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集．7．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为：．（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；（2）第二级讨论：若f（a）≠0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；（3）第三级讨论：若f（a）≠0时，△＞0时，先观察两根x1，x2大小是否确定，否则讨论两根的大小．注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法．1）恒成立问题若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）min＞A，若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）max＜B．六．指、对数不等式的解法【概述】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．七．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．八．一元二次不等式及其应用【概念】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【特征】当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【一元二次不等式的常见应用类型】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．九．一元二次方程的根的分布与系数的关系【概述】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．一．等式与不等式的性质（共1小题）1．（2023•丰台区一模）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bcB．＜C．a2＞b2D．a﹣c＞b﹣c【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，因此D正确．c≤0时，A不正确；a＞0＞b时，B不正确；取a＝﹣1，b＝﹣2，C不正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．不等关系与不等式（共6小题）2．（2023•重庆一模）设x，y∈R，且0＜x＜y＜1，则（）A．x2＞y2B．tanx＞tanyC．4x＞2yD．【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．【解答】解：令x＝，y＝则x2＜y2，tanx＜tany，故选AB错误；令x＝，y＝，则4x＝2y，故选项C错误；选项D，x+＞2＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+＞y（2﹣y），故选D五、题型方法正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．3．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（）A．a＜bB．C．D．ln（b﹣a）＞0【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可．【解答】解：A选项，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，两边同乘以ab得，a＜b，A正确；B选项，因为a＜b＜0，所以，且，由基本不等式得，故B正确；C选项，因为a＜b＜0，所以，故，所以，C正确；D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．4．（2023•南昌县校级二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（）A．x2﹣1＞0B．C．sinx﹣x＞0D．cosx+x＞0【分析】根据x＜﹣1，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵x＜﹣1，∴x2﹣1＞0，x+＜﹣2，又∵sinx，cosx∈[﹣1，1]，∴sinx﹣x＞0，cosx+x＜0．可得：ABC成立，D不成立．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（）A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若，则a＜bC．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞cD．若a＞0，b＞0，m