考点05幂函数（5种题型1个易错考点）（解析版）

考点05幂函数（5种题型1个易错考点）考题考点考向2022天津幂函数、对数函数的单调性利用幂函数、对数函数的单调性比较大小2020江苏幂函数奇偶性根据奇函数性质求函数值熟悉几种常见幂函数的图像，根据图像判断单调性和奇偶性一、单选题1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a，0.713b，21log3c，则（）A．acbB．bcaC．abcD．cab【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log1log33，故abc.故答案为：C.二、填空题2．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，23 fxx，则f(-8)的值是____.【答案】4【分析】先求(8)f，再根据奇函数求(8)f【详解】23(8)84f，因为()fx为奇函数，所以(8)(8)4ff故答案为：4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知四、考点清单幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝xa＝定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．二．幂函数的图象三．幂函数的性质所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用1、幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．2、幂函数与指数函数的对比式子名称axy指数函数：y＝ax底数指数幂值幂函数：y＝xa指数底数幂值3、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）4、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．五．对数函数的单调性与特殊点对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共17小题）1．（2023•黄浦区模拟）设m∈R，若幂函数y＝定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（）A．1B．4C．7D．10【分析】幂函数y＝（m∈R）的图像关于y轴对称说明指数函数为偶函数，由此判断可得m的值．【解答】解：由于幂函数y＝（m∈R）定义域为R，且图像关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2﹣2m+1＝（m﹣1）2为正的偶数，则m的值可以为7．故选：C．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．五、题型方法2．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，则g（x）＝loga（x+m）+2（a＞0）的图象过定点（）A．（﹣4，2）B．（﹣2，2）C．（2，2）D．（4，2）【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出解析式，再令真数等于1，求得x、y的值，可得g（x）的图象过定点．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣2m﹣2＝1且m＜0，∴m＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1＝，则g（x）＝loga（x﹣1）+2（a＞0））+2，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝2，可得g（x）的图象过定点（2，2），故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．3．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】根据对数函数恒过点（1，0）求出点P的坐标，代入幂函数y＝f（x）中求出函数解析式，再计算lgf（2）+lgf（5）的值．【解答】解：函数y＝loga（x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此时y＝loga1+4＝4；所以函数y的图象恒过定点P（2，4），又点P在幂函数y＝f（x）＝xα的图象上，所以2α＝4，解得α＝2；所以f（x）＝x2，所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．故选：B．【点评】本题考查了幂函数与指数函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．4．（2022•天津模拟）已知幂函数f（x）的图象经过点A（3，27）与点B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（）A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a【分析】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，把点（3，27）代入函数的解析式求得α的值，即可得到函数的解析式，求出t的值，从而比较a，b，c的大小．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，把点P（3，27）代入函数的解析式可得，3α＝27，解得α＝3，∴这个函数的解析式是f（x）＝x3，∴t3＝64，解得t＝4，∴a＝log0.14＜0，0＜b＝0.24＜1，c＝40.1＞1，故a＜b＜c，故选：B．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，幂函数，指数函数的性质，是中档题．5．（2022•湖南模拟）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣a，∀x1∈[1，5]，∃x2∈[1，5]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≥﹣23C．a≥31D．a≥7【分析】先利用幂函数的定义和单调性，求出m的值，得到函数f（x）的解析式，利用函数的单调性分别求出f（x1），g（x2）的最小值，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上单调递增，∴，解得m＝0，∴f（x）＝x2，当x1∈[1，5]时，f（x1）∈[1，25]，则f（x1）min＝1，又当x2∈[1，5]时，g（x2）∈[2﹣a，32﹣a]，g（x2）min＝2﹣a，由题意得：1≥2﹣a，解得：a≥1，故选：A．【点评】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的单调性，是中档题．6．（2022•巴宜区校级二模）已知点（n，8）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xm的图象上，则函数的值域为（）A．[0，1]B．[﹣2，0]C．[﹣1，2]D．[﹣2，1]【分析】根据幂函数的定义求出m，n的值，求出函数g（x）的定义域，根据函数的单调性求出函数的值域即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，∴m﹣2＝1，解得：m＝3，∴f（x）＝x3，代入（n，8）得：n3＝8，解得：n＝2，∴g（x）＝﹣2，由，解得：2≤x≤3，故函数g（x）的定义域是[2，3]，函数g（x）在[2，3]递减，由g（2）＝1，g（3）＝﹣2，得函数g（x）的值域是[﹣2，1]，故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域，值域问题，考查幂函数的定义，是基础题．7．（2022秋•金安区校级期末）已知函数是幂函数，则下列关于f（x）说法正确的是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域为[0，+∞）D．在（0，+∞）单调递减【分析】根据函数为幂函数，得到m＝2，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函数，也不是偶函数．【解答】解：为幂函数，故m﹣1＝1，解得m＝2，所以，定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误，在（0，+∞）上单调递增，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．8．（2022•达州模拟）已知幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值是9．【分析】根据幂函数的一般解析式y＝xa，因为其过点（2，4），求出幂函数的解析式，从而求出f（3）．【解答】解：∵幂函数的一般解析式y＝xa，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，4），∴4＝2a，解得a＝2，∴y＝x2，∴f（3）＝32＝9，故答案为9．【点评】此题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题．9．（2022•青浦区校级模拟）已知幂函数过点（4，2），则函数的解析式是f（x）＝．【分析】设幂函数的解析式为f（x）＝xα（α为常数），把点（4，2）代入求出α的值，即可得到函数的解析式．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα（α为常数），∵过点（4，2），∴4α＝2，∴，∴f（x）＝，故答案为：f（x）＝．【点评】本题主要考查了幂函数的定义，是基础题．10．（2023•长宁区二模）当x∈[a，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，则a的取值范围为（1，+∞）．【分析】根据题意，解不等式得出x＞1，从而得出当x∈（1，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，然后即可求出a的取值范围．【解答】解：由得，x3＞x＞0，解得x＞1，∴当x∈（1，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，此时x∈[a，+∞），∴a＞1，∴a的取值范围为：（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了函数f（x）在g（x）的图象上方时，满足f（x）＞g（x），考查了计算能力，属于基础题．11．（2023•宝山区二模）若幂函数y＝xa的图像经过点，则此幂函数的表达式为y＝x3．【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得α的值，从而得出结论．【解答】解：∵幂函数y＝xa的图像经过点，∴＝3，∴α＝3，则此幂函数的表达式为y＝x3．故答案为：y＝x3．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．12．（2022秋•龙圩区校级期末）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点（3，）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）＝x﹣f（x），求函数g（x）在[2，4]的值域．【分析】（1）由f（3）＝3a＝，能求出函数f（x）；（2）求出＞0，g（x）是增函