考点06指数函数（7种题型2个易错考点）（解析版）

考点06指数函数（7种题型2个易错考点）考题考点考向2022·全国·统考高考真题指数函数的单调性利用指数函数的单调性比较大小2022·全国·统考高考真题导数判断其单调性利用指数函数的单调性比较大小方法一：（指对数函数性质）方法二：【最优解】（构造函数）方法三：构造法方法四：比较法1．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log101m，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m，8log9m，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m可得9lg10log101lg9m，而222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022，所以lg10lg11lg9lg10，即lg11m，所以lg11101110110ma.又222lg8lg10lg80lg8lg10lg922，所以lg9lg10lg8lg9，即8log9m，所以8log989890mb.综上，0ab.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m，可得9log10(1,1.5)m．根据,ab的形式构造函数()1(1)mfxxxx，则1()1mfxmx，令()0fx，解得110mxm，由9log10(1,1.5)m知0(0,1)x.()fx在(1,)上单调递增，所以(10)(8)ff，即ab，又因为9log10(9)9100f，所以0ab.一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2022真题抢先刷，考向提前知故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,ab的形式构造函数()1(1)mfxxxx，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb【答案】C【分析】构造函数()ln(1)fxxx，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】方法一：构造法设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.方法二：比较法解：0.10.1ae，0.110.1b，ln(10.1)c，①lnln0.1ln(10.1)ab，令()ln(1),(0,0.1],fxxxx则1()1011xfxxx，故()fx在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0ff，即lnln0ab，所以ab；②0.10.1ln(10.1)ace，令()ln(1),(0,0.1],xgxxexx则1111'11xxxxxegxxeexx，令()(1)(1)1xkxxxe，所以2()(12)0xkxxxe，所以()kx在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0kxk，即()0gx，所以()gx在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0gg，即0ac，所以.ac故.cab一．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义常考题型：例1：下列计算正确的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝a（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，四、考点清单∴C正确；∵∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．常考题型：例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（）A、B、am•an＝am•nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．三．指数函数的图象与性质1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．四．指数型复合函数的性质及应用指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝auy＝ag（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．指数函数的实际应用指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．七．指数函数综合题【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0＜a＜1a＞1y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．一．有理数指数幂及根式（共5小题）1．（2022•临川区校级模拟）若实数a，b满足a6＜a5b，则下列选项中一定成立的有（）A．a＜bB．a3＜b3C．ea﹣b＞1D．【分析】利用特值法可排除选项A、B、C，分类讨论可判断选项D．【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a6＜a5b成立，五、题型方法但a＜b，a3＜b3，ea﹣b＞1都不成立，故选项A、B、C都不成立，若a＜0，则b＜a＜0，故0＜＜1，若a＞0，则b＞a＞0，故0＜＜1，故ln（）＜0，故选：D．【点评】本题考查了指数幂的运算及分类讨论的思想应用，属于基础题．2．（2022•海淀区二模）已知x，y∈R，且x+y＞0，则（）A．+＞0B．x3+y3＞0C．lg（x+y）＞0D．sin（x+y）＞0【分析】利用不等式的性质和通过举反例进行排除即可得到．【解答】解：对于A，当x＝10，y＝﹣1时，x+y＞0，但＝﹣＜0，故A错误；对于B，x，y∈R，且x+y＞0，x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x﹣）2+]＞0，故B正确；对于C，当x+y＝0.1＞0时，lg（x+y）＜0，故C错误；对于D，当x+y＝＞0时，sin（x+y）＝sin＝﹣1＜0，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，是基础题．3．（2022•天津模拟）已知2x＝24y＝3，则的值为（）A．1B．0C．﹣1D．2【分析】