考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）（解析版）

考点14直线和圆的方程（26种题型10个易错考点）考题考点考向2022新高考直线与圆，圆与圆的位置关系求切线方程2022新高考直线与圆，圆与圆的位置关系由直线与圆有交点求参数的取值范围2022新高考直线方程求直线方程2021新高考直线与圆，圆与圆的位置关系点到直线的距离公式，圆的方程及应用2021全国乙文直线方程点到直线的距离2020课标直线与圆，圆与圆的位置关系直线与圆相切，直线方程2020课标直线与圆，圆与圆的位置关系求弦长的最值近几年对本章的内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数的取值范围的求解、直线与圆的位置关系中涉及弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。1．（2023•全国）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（）A．2B．C．D．【分析】由题意利用勾股定理即可求解．【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝＝＝2．故选：A．【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．2．（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（）A．1+B．4C．1+3D．7一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知【分析】根据题意，设z＝x﹣y，分析x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0和x﹣y﹣z＝0，结合直线与圆的位置关系可得有≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，其几何意义为直线x﹣y﹣z＝0，直线y＝x﹣z与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9有公共点，则有≤3，解可得1﹣3≤z≤1+3，故x﹣y的最大值为1+3．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．3．（2023•乙卷）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝，则•的最大值为（）A．B．C．1+D．2+【分析】设∠OPC＝α，则，根据题意可得∠APO＝45°，再将•转化为α的函数，最后通过函数思想，即可求解．【解答】解：如图，设∠OPC＝α，则，根据题意可得：∠APO＝45°，∴＝＝cos2α﹣sinαcosα＝＝，又，∴当，α＝，cos（）＝1时，取得最大值．故选：A．【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，属中档题．4．（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1B．C．D．【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．二．填空题（共4小题）5．（2023•上海）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝﹣3．【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，再结合圆的半径为1求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．6．（2023•天津）过原点的一条直线与圆C：（x+2）2+y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若|OP|＝8，则p的值为6．【分析】不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），由直线与圆相切求解k值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得P点坐标，再由|OP|＝8列式求解p的值．【解答】解：如图，由题意，不妨设直线方程为y＝kx（k＞0），即kx﹣y＝0，由圆C：（x+2）2+y2＝3的圆心C（﹣2，0）到kx﹣y＝0的距离为，得，解得k＝（k＞0），则直线方程为y＝，联立，得或，即P（）．可得|OP|＝，解得p＝6．故答案为：6．【点评】本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．7．（2023•新高考Ⅱ）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值2（或﹣2或或﹣）．【分析】由“△ABC面积为，求得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ，得到cosθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，解得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ＝，可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，∴cosθ＝或cosθ＝，∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝或，∴＝或＝，解得m＝±或m＝±2．故答案为：2（或﹣2或或﹣）．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．8．（2023•上海）已知圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，则圆C的半径为1．【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径．【解答】解：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2＝0，可得圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝1，故圆C的圆心为（﹣1，0），半径为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题．一．直线的倾斜角1.倾斜角的定义四、考点清单（1）当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．（2）当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2.直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°.二．直线的斜率1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即tank.2.斜率的计算公式：定义斜率的定义式)2(tank两点式过两点)(111yxP，，))((21222xxyxP，的直线的斜率公式为1212xxyyk【注意】任何直线都有倾斜角，但当倾斜角等于2时，直线的斜率不存在.3.倾斜角与斜率的关系图示倾斜角09009018090斜率0k0k不存在0k三．直线的平行于垂直定义平行当k存在时，两直线平行，则21kk当k不存在时，则两直线的倾斜角都为90垂直当k存在时，两直线垂直，则121kk当k不存在时，则一条直线倾斜角为90，另一条直线倾斜角为0【注意】在计算两直线平行的题时，注意考虑重合的情况.四．直线的方程直线方程适用范围点斜式)(00xxkyy不能表示与x轴垂直的直线斜截式bkxy不能表示与x轴垂直的直线两点式121121xxxxyyyy不能表示与x轴、y轴垂直的直线截距式1byax不能表示与x轴垂直、y轴垂直以及过原点的直线一般式0CByAx无局限性五．特殊的直线方程已知点)(00yxP，，则类型直线方程与x轴垂直的直线0xx与y轴垂直的直线0yy六．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点)(00yxP，，)(nmv，是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量PP0与v共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使vtPP0，即)()(00nmtyyxx，，，所以①ntyymtxx00.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.七．直线的平行与垂直斜截式一般式直线方程111bxkyl：222bxkyl：)0(0111111不同时为，：BACyBxAl)0(0222222不同时为，：BACyBxAl平行2121bbkk且01221BABA（注意可能重合）垂直121kk02121BBAA八．利用平行与垂直解决问题斜截式一般式直线方程mkxyl：1)0(01不同时为，：BACByAxl平行若直线12//ll，则可设2l的方程为：)(mkxy若直线12//ll，则可设2l的方程为：)(01CByAxl：垂直若直线12ll，则可设2l的方程为：xky1若直线12ll，则可设2l的方程为：01AyBxl：九．两条直线的交点对于直线)0(0111111不同时为，：BACyBxAl，)0(0222222不同时为，：BACyBxAl，求交点即解方程组00222111CyBxACyBxA，该方程组的解与两直线的位置关系如下：方程组解的个数位置关系一个解相交无解平行无数解重合十．三个距离公式条件距离公式两点之间的距离公式已知两点)(111yxP，，)(222yxP，22122121)()(yyxxPP点到直线的距离公式已知一点)(00yxP，，以及直线0:CByAxl2200BACByAxdlP两平行线的距离公式已知直线0:11CByAxl，以及0:22CByAxl220021BACByAxdll十一．对称条件方法两点关于另外一点对称)(11yxP，，)(22yxP，两点关于21021022yyyxxx)(00yxM，对称两点关于一直线对称)(11yxP，，)(22yxP，两点关于直线0:CByAxl对称（斜率存在）1.PP，两点的中点在直线l上；2.PP两点所在直线与直线l垂直两直线关于另一直线对称（三直线不平行）1.三条直线交于同一点；2.到角公式十二．两点关于一直线特殊的对称点的坐标直线方程对称点坐标)(00yxP，xy)(00xyP，)(00yxP，xy)(00xyP，)(00yxP，mxy)(00mxmyP，)(00yxP，mxy)(00mxmyP，十三．到角公式设21ll，的斜率分别是21kk，，1l到2l的角为，则)2(1tan1212kkkk.十四．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.十五．圆的标准方程圆的标准方程圆心半径)0()()(222rrbyax)(ba，r十六．圆的一般方程圆的一般方程圆心半径)04(02222FEDFEyDxyx)22(ED，2422FED十七．二元二次方程与圆的方程1.二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程022FEyDxCyBxyAx，对比圆的一般方程022FEyDxyx，0422FED，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.2.二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的条件是{𝐴=𝐶≠0𝐵=0(𝐷𝐴)2+(𝐸𝐴)2−4(𝐹𝐴)0.十八．点与圆的位置关系圆的标准方程为)0()()(222rrbyax一般