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综合训练02不等式（8种题型60题专练）一．等式与不等式的性质（共3小题）1．（2022秋•萍乡期末）若实数a，b，c满足a＞b＞c，则下列结论一定成立的是（）A．ac＞b2B．ab2＞cb2C．D．【分析】利用特殊值可判断ABC，做差可判断D．【解答】解：对于A，若a＝1，b＝0，c＝﹣1，则ac＜b2，故A错误；对于B，若a＝1，b＝0，c＝﹣1，则ab2＝cb2，故B错误；对于C，b＝0时不能做分母，故C错误；对于D，因为a＞b＞c，所以a﹣c＞0，b﹣c＞0，a﹣b＞0，所以，所以，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．2．（2023•朝阳区一模）若a＞0＞b，则（）A．a3＞b3B．|a|＞|b|C．D．ln（a﹣b）＞0【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD．【解答】解：∵a＞0＞b，∴a3＞0，b3＜0，即a3＞b3，故A正确；取a＝1，b＝﹣2，则|a|＞|b|不成立，故B错误；取a＝1，b＝﹣2，则不成立，故C错误；取，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，故D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．3．（2022秋•广东期末）已知1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，则5a+b的取值范围为（）A．[15，31]B．[14，35]C．[12，30]D．[11，27]【分析】由已知结合不等式的性质即可求解．【解答】解：1≤a﹣b≤3，3≤a+b≤7，所以2≤2（a﹣b）≤6，9≤3（a+b）≤21，则5a+b＝2（a﹣b）+3（a+b）∈[11，27]．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．二．不等关系与不等式（共8小题）4．（2023•大同二模）已知m＜n，则下列结论正确的是（）A．m2＜n2B．C．2m＜2nD．lgm＜lgn【分析】根据不等式性质以及指数函数单调性、对数函数定义域，利用特殊值即可判断结果．【解答】解：根据题意可知，不妨取m＝﹣1，n＝1，则m2＝1，n2＝1，此时不满足m2＜n2，即A错误；易得，此时，所以B错误；对于D，lgm无意义，所以D错误，由指数函数单调性可得，当m＜n时，2m＜2n，即C正确．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．5．（2023•金山区二模）若实数a、b满足a2＞b2＞0，则下列不等式中成立的是（）A．a＞bB．2a＞2bC．a＞|b|D．log2a2＞log2b2【分析】举反例可判断ABC错误，利用对数函数的单调性可判断D正确．【解答】解：对于A，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2＞0，但是a＞b不成立，故A错误；对于B，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2＞0，但是，即2a＞2b不成立，故B错误；对于C，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2＞0，但是a＞|b|不成立，故C错误；对于D，∵a2＞b2＞0，且y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，∴，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了对数函数的单调性，属于基础题．6．（2023•黄浦区模拟）已知x∈R，下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】举反例可排除A、B、C，再利用不等式的性质可证明D正确即可．【解答】解：取x＝0可得＝1＝，故A错误；取x＝0可得＝1＝，故B错误；取x＝1可得＝＝，故C错误；选项D，∵x2+2＞x2+1＞0，∴＞，故D正确．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题．7．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（）A．a＜bB．C．D．ln（b﹣a）＞0【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可．【解答】解：A选项，，故a＜0，b＜0，所以ab＞0，两边同乘以ab得，a＜b，A正确；B选项，因为a＜b＜0，所以，且，由基本不等式得，故B正确；C选项，因为a＜b＜0，所以，故，所以，C正确；D选项，不妨取a＝﹣2，b＝﹣1，满足a＜b＜0，此时ln（b﹣a）＝ln1＝0，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．8．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（）A．若ac2≥bc2，则a≥bB．若，则a＜bC．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞cD．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可．【解答】解：对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误，对于B，取a＝1，c＝1，b＝﹣1，则满足，但不满足a＜b，故B错误；对于C，取a＝﹣1，b＝2，c＝3，则满足a+b＞0，c﹣b＞0，但不满足a＞c，故C错误；对于D，若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则b﹣a＞0，所以﹣＝＝＞0，即，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题9．（2023•重庆模拟）设x∇y＝x+y+|x﹣y|，xΔy＝x+y﹣|x﹣y|，若正实数a，b，c，d满足：则下列选项一定正确的是（）A．d＞bB．b＞cC．bΔc＞aD．d∇c＞a【分析】对新定义进行化简，分别在条件，，，下化简aΔb＜cΔd，结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项．【解答】解：因为，，又所以，（1）若a≥b，c≥d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，可化为2b＜2d，则b＜d，所以c≥d＞b，①若a≥c≥d＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，矛盾，②若c＞a≥d＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾，③若c≥d＞a≥b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾，（2）若a≥b，c＜d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，可化为b＜c，所以d＞c＞b，①若a≥d＞c＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，矛盾，②若d＞a≥c＞b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为a＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为b＜d，满足，③若d＞c＞a≥b，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为b＜d，满足，（3）若a＜b，c＜d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，可化为a＜c，所以d＞c＞a，①若b≥d＞c＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为c＜d，满足，②若d＞b≥c＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为c＜d，满足，③若d＞c＞b＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为b＜d，满足，（4）若a＜b，c≥d则，不等式a+b﹣|a﹣b|＜c+d﹣|c﹣d|，可化为a＜d，所以c≥d＞a，①若b≥c≥d＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，满足，b+c﹣|b﹣c|＜a+d+|a﹣d|可化为c＜d，矛盾，②若c≥b≥d＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜b，矛盾，③若c≥d≥b＞a，则a+c+|a﹣c|＜b+d+|b﹣d|可化为c＜d，矛盾，综上，b≥d＞c＞a或d＞b≥c＞a或d＞c＞b＞a或d＞a≥c＞b或d＞c＞a≥b，由b≥d＞c＞a知，故A错误；由d＞c＞b＞a知，故B错误；当d＞a≥c＞b时，bΔc＝b+c﹣|b﹣c|＝b+c﹣c+b＝2b，取d＝7，a＝6，c＝2，b＝1可得，满足条件但bΔc＝2＜a，故C错误；当b≥d＞c＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，当d＞b≥c＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a当d＞c＞b＞a时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，当d＞a≥c＞b时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，当d＞c＞a≥b时，d∇c＝d+c+|d﹣c|＝2d＞a，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了“新定义”问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝，属于中档题．10．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）A．B．C．D．【分析】根据题目条件直接列出不等式组即可．【解答】解：数学成绩x不低于100分表示为x≥100，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200＜y+z＜240，即．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题．11．（2023•重庆一模）设x，y∈R，且0＜x＜y＜1，则（）A．x2＞y2B．tanx＞tanyC．4x＞2yD．【分析】对选项进行逐个分析，即可解出．【解答】解：令x＝，y＝则x2＜y2，tanx＜tany，故选AB错误；令x＝，y＝，则4x＝2y，故选项C错误；选项D，x+＞2＝2，y（2﹣y）＝2y﹣y2＜2y＜2，故x+＞y（2﹣y），故选D正确，故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．三．基本不等式及其应用（共37小题）12．（2023•柳州模拟）若a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．B．2C．D．4【分析】利用基本不等式即可求出最值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．13．（2023•湖北模拟）已知a＞0，b＞0，且，那么a+b的最小值为（）A．B．2C．D．4【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案．【解答】解：因为a＞0，b＞0，，则＝＝．当且仅当即时取等．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．14．（2023•宝山区二模）已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，则的最小值为（）A．B．9C．D．8【分析】由f（x）为偶函数可得﹣m+1＝0，进而求出m的值，得到f（x）的解析式，再由正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，可得a+2b＝5，结合基本不等式求解即可．【解答】解：∵f（x）＝|x﹣m+1|﹣2为R上的偶函数，∴﹣m+1＝0，∴m＝1，∴f（x）＝|x|﹣2，又∵正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，∴（a﹣2）+（2b﹣2）＝1，即a+2b＝5，∴＝（a+2b）（）＝（5+）＝，当且仅当，即a＝b＝时，等号成立，即的最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．15．（2023•上饶三模）（3+）（1+4x2）的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先展开已知式子，结合基本不等式即可求解．【解答】解：（3+）（1+4x2）＝7+12x2+＝7+4，当且仅当，即x2＝时取等号．故选：D．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．16．（2023•陕西模拟）已知x，y∈（0，+∞），，则xy的最大值为（）A．B．C．D．【分析】依题意可得x+2y＝6，再利用基本不等式计算可得．【解答】解：因为，即2x﹣6＝2﹣2y，所以x+2y＝6，又x，y∈（0，+∞），则，当且仅当x＝3，时，等号成立．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应，属于基础题．17．（2023•渝中区校级模拟）已知x＞0，y＞0，且xy+x﹣2y＝4，则2x+y的最小值是（）A．4B．5C．7D．9【分析】利用已知求出x的