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综合训练05三角函数（16种题型60题专练）一．扇形面积公式（共3小题）1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）A．B．C．D．【分析】由已知求得AB与CD的值，代入s＝AB+得答案．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，∴s＝AB+＝2+＝2+＝．故选：B．【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．2．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝（1﹣）．【分析】如图，设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知{Sn}是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解．【解答】解：如图，设圆O1与弧AB相切于点D，圆O1，圆O2与OA分别切于点C，E，则O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．因为，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，则，即，解得r1＝1．在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，则，即，解得．同理可得，，所以{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列．又圆的面积为S＝πr2，所以面积S1，S2，S3，…，Sn构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则．故答案为：．【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题．3．（2023•柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心O在线段AB上，若∠CAB＝α，|AC|＝m，则扇形OAC的面积为．【分析】根据已知条件将R表示出来，直接打入扇形OAC的面积公式即可．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，设所在圆的半径为R，则|AO|＝|OC|＝R，在Rt△ADC中，∠CAD＝α，|AC|＝m，所以|AD|＝mcosα，|CD|＝msinα，所以，|OD|＝R﹣mcosα．在Rt△ODC中，有|CD|2+|OD|2＝|OC|2，∴（msinα）2+（R﹣mcosα）2＝R2，整理可得，R＝，因为|AO|＝|OC|＝R，所以∠COA＝π﹣2α，所以，扇形OAC的面积为S＝（π﹣2α）R2＝．故答案为：．【点评】本题考查扇形的面积，属于中档题．二．任意角的三角函数的定义（共2小题）4．（2023•重庆模拟）若点在角α的终边上，则cos2α＝．【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：因为点，即在角α的终边上，且|OM|＝1，所以，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．5．（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为．【分析】利用三角函数定义可知，射线OA对应的角α满足，再利用任意角的关系和两角差的余弦公式即可得点B的横坐标为．【解答】解：易知在单位圆上，记终边在射线OA上的角为α，如下图所示：根据三角函数定义可知，，OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则终边在射线OB上的角为，所以点B的横坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．三．三角函数线（共1小题）6．（2022•甲卷）已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（）A．c＞b＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．a＞c＞b【分析】构造函数f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），可得cos，即b＞a，利用三角函数线可得tanx＞x，即tan＞，即，可得c＞b．【解答】解：设f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，利用三角函数线可得x）时，tanx＞x，∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．综上：c＞b＞a，故选：A．【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．四．三角函数的周期性（共4小题）7．（2023•日照一模）已知函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则＝．【分析】根据已知条件，结合正弦函数的周期公式，以及对称轴的性质，求出f（x），再将x＝代入上式，即可求解．【解答】解：函数的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则，∵，∴ω＝2，，故f（x）＝，即．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．8．（2023•佛山一模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，）．T为f（x）的最小正周期，且满足．若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则ω的取值范围是．【分析】根据题意可得为f（x）的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案．【解答】解：由题意可得：f（x）的最小正周期，∵，且，则为f（x）的一条对称轴，∴，解得，又∵，则，故，∵x∈（0，π），则，若函数f（x）在区间（0，π）上恰有2个极值点，则，解得，故ω的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查正弦型函数y＝Asin（ωx+φ）的性质问题，属于中档题．9．（2023•河南模拟）已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则ω的值为．【分析】先化简f（x），然后由关于点中心对称可得到，结合即可求解．【解答】解：，因为图象关于点中心对称，所以，所以，所以，又因为最小正周期为T，且，所以可得，则，所以当k＝1时，ω的值为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的确定，考查余弦函数的性质，属于中档题．10．（2023•浙江模拟）写出一个满足下列条件的正弦型函数，f（x）＝（答案不唯一）．①最小正周期为π；②f（x）在上单调递增；③∀x∈R，|f（x）|≤2成立．【分析】设f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，根据∀x∈R，|f（x）|≤2，则可设A＝2，根据最小正周期为π，可得ω＝2，通过整体换元法则可得到，取即可．【解答】解：设f（x）＝Asin（ωx+φ），ω＞0，因为∀x∈R，|f（x）|≤2，所以f（x）max≤2，f（x）min≥﹣2，所以|A|≤2，不妨设A＝2，因为f（x）最小正周期为π，所以，因为f（x）在上单调递增，所以，所以，当k0＝0时，，不妨设，所以满足条件之一的．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．五．运用诱导公式化简求值（共1小题）11．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝．【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．【解答】解：因为锐角α满足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，所以tanα＝＝2或﹣（舍去），可得cosα＝sinα，所以sin2α+cos2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，则sin（π﹣α）＝sinα＝．故答案为：．【点评】本题考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．六．正弦函数的图象（共12小题）12．（2023•咸阳模拟）已知函数．对于下列四种说法：①函数f（x）的图像关于点成中心对称；②函数f（x）在（﹣π，π）上有8个极值点；③函数f（x）在区间上的最大值为；④函数f（x）在区间上单调递增．其中正确的序号是②③．【分析】对于①，，则函数f（x）的图像不关于点成中心对称；对于②，由x的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得取到极值点的位置；对于③，由x的范围，得出的范围，利用正弦函数的性质可得出函数的最值；对于④，由x的范围，得出的范围，利用正弦函数的单调性判断即可．【解答】解：对于①，∵，∴f（x）的图像不关于点成中心对称，错误；对于②，x∈（﹣π，π），则，则当分别取时，函数f（x）取到极值，正确；对于③，，则，，正确；对于④，，则，由于正弦函数在上不单调，错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，考查转化能力，属于基础题．13．（2023•北海模拟）已知函数的图象关于点对称，则φ＝．【分析】根据的图象关于点对称，由，k∈Z求解．【解答】解：因为函数的图象关于点对称，所以，k∈Z，所以，k∈Z，因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．14．（2023•新疆模拟）以函数y＝sinωx（ω＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形，则ω＝．【分析】作出函数y＝sinωx（ω＞0）的大致图像，先由正弦函数的性质得AB＝T，CD＝2，再由正三角形的性质推得，从而利用三角函数的周期公式即可得解．【解答】解：作出函数y＝sinωx（ω＞0）的大致图像，不妨取如图的相邻三个最值点，设其中两个最大值点为A，B，最小值点为C，过C作CD⊥AB交AB于D，如图，根据正弦函数y＝sinωx（ω＞0）的性质可知AB＝T，CD＝2，因为△ABC是正三角形，所以，故，则，又ω＞0，则，故，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，属于基础题．15．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是（答案不唯一）．（写出符合条件的一个值即可）【分析】根据零点的距离求出周期T，从而求出ω的值，再利用正弦函数的性质求解即可．【解答】解：由题意得：T＝2•＝π，故ω＝＝2，故f（x）＝sin（2x+），故x1＝﹣+＝，x2＝+，x3＝2•+，•••••．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．16．（2023•攀枝花一模）若函数（ω＞0）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围为．【分析】由题意利用正弦函数的图像和性质，正弦函数的零点与极值，列出不等式转化求解ω的取值范围．【解答】解：时，，函数在上存在极值点，故该极值点满足，所以，由于函数在上单调，故最小正周期，解得ω≤1，所以，当时，，则当x＝π时，，解得：，综上所述：，即ω的取值范围是．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．17．（2023•株洲一模）已知f（x）＝sinωx（ω∈N+），若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，则ω可以为5（答案不唯一）．（填一个值即可）【分析】利用正弦函数的性质可得≥，解之可得答案．【解答】解：f（x）＝sinωx≤1，ω∈N+，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f（a）+f（b）＝2，则在区间上f（x）至少存在两个最大值，∴≥，∴ω≥5，又ω∈N+，∴ω可以为5，故答案为：5（答案不唯一）．【点评】本题考查正弦函数的图象与性质的应用，考查理解能力