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综合训练04幂函数、指数函数、对数函数（13种题型60题专练）一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共4小题）1．（2023•和平区校级一模）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，则g（x）＝loga（x+m）+2（a＞0）的图象过定点（）A．（﹣4，2）B．（﹣2，2）C．（2，2）D．（4，2）【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出解析式，再令真数等于1，求得x、y的值，可得g（x）的图象过定点．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣2m﹣2＝1且m＜0，∴m＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1＝，则g（x）＝loga（x﹣1）+2（a＞0））+2，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝2，可得g（x）的图象过定点（2，2），故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．2．（2023•东莞市校级模拟）已知函数y＝loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f（x）的图象上，则lgf（2）+lgf（5）＝（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】根据对数函数恒过点（1，0）求出点P的坐标，代入幂函数y＝f（x）中求出函数解析式，再计算lgf（2）+lgf（5）的值．【解答】解：函数y＝loga（x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此时y＝loga1+4＝4；所以函数y的图象恒过定点P（2，4），又点P在幂函数y＝f（x）＝xα的图象上，所以2α＝4，解得α＝2；所以f（x）＝x2，所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．故选：B．【点评】本题考查了幂函数与指数函数的性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3．（2023•南京二模）幂函数f（x）＝xα（α∈R）满足：任意x∈R有f（﹣x）＝f（x），且f（﹣1）＜f（2）＜2，请写出符合上述条件的一个函数f（x）＝x．【分析】取f（x）＝x，再验证奇偶性和函数值即可．【解答】解：取f（x）＝x，则定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）＝x＝f（x），f（﹣1）＝1，f（2）＝2＝，满足f（﹣1）＜f（2）＜2．故答案为：x（答案不唯一）．【点评】本题考查幂函数的应用，属于基础题．4．（2023•未央区校级模拟）已知函数（a＞0且a≠1）的图象经过定点A，若幂函数y＝g（x）的图象也经过该点，则＝4．【分析】求出A的坐标，代入g（x），求出g（x）的解析式，求出g（）的值即可．【解答】解：由3﹣x＝1，解得x＝2，故A（2，），设g（x）＝xα，则2α＝，解得α＝﹣2，故g（x）＝x﹣2，故g（）＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了求幂函数的解析式，函数求值问题，是基础题．二．幂函数的图象（共1小题）5．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案．【解答】解：由指数函数的性质可知：①是的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象；所以只有②不是指数函数的图象．故选：B．【点评】本题主要幂函数的图象，属于基础题．三．幂函数的性质（共4小题）6．（2023•大英县校级模拟）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【分析】做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．【解答】解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．故选：A．【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．7．（2023•河南模拟）已知幂函数的图象过，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（）A．x1f（x1）＞x2f（x2）B．x1f（x2）＜x2f（x1）C．D．【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，根据幂函数的图象与性质判断选项中的命题是否正确．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，图象经过点（，），所以（）α＝，解得α＝，所以f（x）＝，因为函数f（x）＝在定义域[0，+∞）内单调递增，所以当0＜x1＜x2时，0＜f（x1）＜f（x2），所以x1f（x1）＜x2f（x2），选项A，C错误；又因为函数＝单调递增，所以当0＜x1＜x2时，＜，选项D正确．所以x2f（x1）＜x1f（x2），即x1f（x2）＜x2f（x1），选项B错误．故选：D．【点评】本题考查了利用幂函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．8．（2023•秀英区校级三模）设，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．【解答】解：a＝＝＜1，b＝＞1，c＝＝＜1；且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，所以＜，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．【点评】本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，是基础题．9．（2023•盱眙县校级四模）已知幂函数，若f（a﹣1）＜f（8﹣2a），则a的取值范围是（3，4）．【分析】根据题意得到幂函数f（x）的定义域和单调性，得到不等式f（a﹣1）＜f（8﹣2a）的等价不等式组，即可求解．【解答】解：幂函数，则定义域为（0，+∞），且是递减函数，∵f（a﹣1）＜f（8﹣2a），∴，∴3＜a＜4，则实数a的取值范围为（3，4）．故答案为：（3，4）．【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题．四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用（共1小题）10．（2023•如皋市校级模拟）若（m+1）＜（3﹣2m），则实数m的取值范围﹣1．【分析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：考察幂函数y＝，它在[0，+∞）上是增函数，∵（m+1）＜（3﹣2m），∴0≤m+1＜3﹣2m，解得：﹣1≤m＜，则实数m的取值范围﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，构造出幂幂函数y＝是关键．五．有理数指数幂及根式（共3小题）11．（2023•琼海模拟）＝（）A．9B．C．3D．【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值．【解答】解：．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．12．（2022•北京自主招生）已知ax+by＝1，ax2+by2＝2，ax3+by3＝7，ax4+by4＝18，则ax5+by5＝．【分析】由于（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，把已知代入解出x+y＝，xy＝﹣，再由（ax4+by4）（x+y）＝（ax5+by5）+（ax3+by3）xy，即可得出结果．【解答】解：∵（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，∴2（x+y）＝7+xy，7（x+y）＝18+2xy，解得x+y＝，xy＝﹣，又（ax4+by4）（x+y）＝（ax5+by5）+（ax3+by3）xy，∴18（x+y）＝（ax5+by5）+7xy，∴18×＝（ax5+by5）+7×（﹣），解得ax5+by5＝．故答案为：．【点评】本题考查了多项式的乘法、方程的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2023•叶县模拟）的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求出动点P的轨迹方程，根据抛物线的定义和性质转化求解即可．【解答】解：动点P（，m）的轨迹方程为C：y2＝6x，抛物线的焦点坐标为F（，0），设P到准线的距离为d，A（，），则原式＝++﹣＝d+|PA|﹣＝|PF|+|PA|﹣≥|AF|﹣＝﹣＝，故选：B．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题．六．指数函数的图象与性质（共6小题）14．（2022•北京）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（）A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝【分析】根据题意计算f（x）+f（﹣x）的值即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．故选：C．【点评】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．15．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据指数函数的图象求出a的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，二次函数y＝ax2+x的顶点的横坐标为x＝﹣，∵0＜a＜1，∴，﹣＜﹣，即横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的性质，根据条件求出a的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．16．（2023•雅安模拟）在40.2，0.1﹣0.2，2sin3，100.15这4个数中，最小的是2sin3，最大的是0.1﹣0.2．【分析】直接利用数的变形比较出数的大小．【解答】解：由于0.1﹣0.2＝100.2，故1＜40.2＝80.1＜80.15＜100.15＜100.2，，故0.1﹣0.2＞100.15＞40.2＞2sin3．故最小的是2sin3，最大的是0.1﹣0.2．故答案为：2sin3；0.1﹣0.2．【点评】本题考查的知识要点：数的变形，数的大小比较，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．17．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝2．【分析】利用指数函数的单调性求解．【解答】解：函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上单调递增，所以a2﹣a＝2，解得a＝﹣1或2，又∵a＞1，∴a＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．18．（2023•辽宁模拟）已知a＝79，b＝88，c＝97，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜b＜a【分析】先构造函数f（x）＝（16﹣x）lnx（7≤x≤9），再判断单调性，求解即可．【解答】解：设f（x）＝（16﹣x）lnx（7≤x≤9），则f′（x）＝﹣lnx+﹣1，当7≤x≤9时，f′（x）为减函数，又∵f′（7）＝﹣ln7+﹣1＝＝，e9﹣77＜39﹣77＜39﹣67＝9•37﹣67＝37（9﹣27）＜0，则e9＜77，∴当7≤x≤9时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，∴f（9）＜f（8）＜f（7），∴7ln9＜8ln8＜9ln7，∴ln97＜ln88＜ln79，∴97＜88＜79，即c＜b＜a．故选：D．【点评】本题考查了利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题．19．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则﹣的最小值是．【分析】求出函数所过的定点A（1，1），则有m+2n＝8，则2n＝8﹣m，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可．【解答】解：函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A（1，1），则m+2n＝8，所以2n＝8﹣m，由，得0＜m＜8，则令t＝3m+8，t∈（8，32），则，则＝，当且仅当，即t＝16，即时，取等号，所以的最小值是．故答案为：．【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．七．指数函数的单调性与特殊点（共6小题）20．（2023•海南一模）函数f（x）＝