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综合训练03函数的概念与性质（14种题型60题专练）一．函数的定义域及其求法（共3小题）1．（2023•东城区一模）函数的定义域为（0，1]．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可．【解答】解：要使有意义，则，解得0＜x≤1．所以原函数的定义域为（0，1]．故答案为（0，1]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．2．（2023•湖北模拟）函数的定义域是（）A．（﹣∞，1）B．（0，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0]【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可．【解答】解：由，得，解得x≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．故选：D．【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．3．（2023•泸县校级模拟）已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足+＝n时，求4a+7b的最小值．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；（2）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+2|+|x﹣4|）min，∴|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6；（2）由（1）知n＝6，4a+7b＝（4a+7b）（+）＝[（a+5b）+（3a+2b）]（+）≥，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴4a+7b的最小值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．函数的值域（共7小题）4．（2023•全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．已知，，则函数f（x）的值域为（）A．{4，6，8}B．{4，5，6}C．{4，5，6，7，8}D．{4，8}【分析】根据函数的单调性先求出函数的值域，再由已知定义可求．【解答】解：易知，在上单调递减，[2，6）上单调递增．当x＝2时，；当时，；当x＝6时，，所以，则函数f（x）的值域为{4，5，6，7，8}．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．5．（2023•沈阳三模）已知函数，若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[0，1]C．[0，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2），结合图象可确定实数a的取值范围．【解答】解：函数y＝x+1在（﹣∞，a]上为增函数，值域为（﹣∞，a+1]，如图：y＝2x（x＞a）的值域为（2a，+∞），又y＝x+1与y＝2x有两个交点（0，1），（1，2）要使函数f（x）的值域为R，则0≤a≤1．故选：B．【点评】本题考查分段函数的值域，属于基础题．6．（2023•安徽三模）函数的值域是[2，+∞）．【分析】分段分别求出函数f（x）的值域，最后取并集即可．【解答】解：函数，当x≤2时，f（x）＝﹣x+4≥2，当x＞2时，f（x）＝1+log2x＞2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．7．（2023•虹口区二模）对于定义在R上的奇函数y＝f（x），当x＞0时，，则该函数的值域为（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．【分析】根据奇函数的性质求得f（0）＝0，再结合基本不等式求x＞0时y＝f（x）的取值范围，再结合奇函数的性质求x＜0时函数值的范围，由此可得函数值域．【解答】解：因为y＝f（x）为R上的奇函数所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0，又当x＞0时，2x+1＞2，所以＝2x+1+﹣1≥2﹣1＝5，当且仅当x＝1时等号成立，即当x＞0时，f（x）≥5，因为y＝f（x）为R上的奇函数，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以x＜0时，f（x）≤﹣5，所以函数y＝f（x）的值域为（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞）．【点评】本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题．8．（2023•南部县校级模拟）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x﹣1在[a，b]上是“亲密函数”，则b﹣a的最大值是1．【分析】根据新定义先解出亲密区间[a，b]，即可得出答案．【解答】解：由|f（x）﹣g（x）|＝|x2﹣5x+5|≤1，得﹣1≤x2﹣5x+5≤1，解得1≤x≤2或3≤x≤4．∴f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝2x﹣1在[1，2]或[3，4]上是“亲密函数”，则b﹣a的最大值是1．故答案为1．【点评】正确理解新定义是解题的关键．（多选）9．（2023•广州二模）已知函数的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（0，2）D．（﹣1，2）【分析】可设，该函数在（0，2]上单调递减，在[﹣2，0）上单调递增，从而得出f（x）在（0，2]和[﹣2，0）上的单调性及值域，并得出f（0）＝1，从而得出f（x）在[﹣2，0]，[0，2]，[﹣1，2]上的值域都是[0，1]，从而得出a，b的可能取值．【解答】解：x≠0时，设，g（x）在（0，2]上单调递减，在[﹣2，0）上单调递增，且，∴f（x）在（0，2]上单调递减，0≤f（x）＜1；f（x）在[﹣2，0）上单调递增，0≤f（x）＜1，且f（0）＝1，∴f（x）在[0，2]，[﹣2，0]，[﹣1，2]上的值域为[0，1]，a，b中至少一个取﹣2或2，∴整数对（a，b）可以是（﹣2，0），（0，2），（﹣1，2）．故选：ACD．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，函数单调性的定义，考查了计算能力，属于中档题．10．（2023•全国二模）已知函数f（x）＝4x﹣2x+2﹣1，x∈[0，3]，则其值域为[﹣5，31]．【分析】令t＝2x，将问题转化为求二次函数在区间[1，8]上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解．【解答】解：令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g（t）＝t2﹣4t﹣1＝（t﹣2）2﹣5，t∈[1，8]又y＝g（t）关于t＝2对称，开口向上，所以g（t）在[1，2）上单调递减，在（2，8]上单调递增，且|8﹣2|＞|2﹣1|，∴t＝2时，函数取得最小值，即g（t）min＝﹣5，t＝8时，函数取得最大值，即g（t）max＝31，∴f（x）∈[﹣5，31]．故答案为：[﹣5，31]．【点评】本题主要考查了指数函数及二次函数性质的应用，还考查了换元法的应用，属于中档题．三．函数解析式的求解及常用方法（共4小题）11．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（x）＝x﹣，则如图所对应的函数的解析式为（）A．y＝f（|x+1|）B．y＝f（|x|﹣1）C．y＝f（|x|+1）D．y＝|f（x+1）|【分析】根据图象的对称性，定义域看确定选项．【解答】解：函数图象关于y轴对称，为偶函数，则排除A，D选项，从图象上观察，x∈R，B项，y＝f（|x|﹣1）＝|x|﹣1﹣，x≠±1，与图象不符，C项，y＝f（|x|+1）是偶函数，且x∈R．故选：C．【点评】本题考查函数的图象，函数的性质，属于基础题．12．（2023•浙江模拟）定义在R上的非常数函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x），且f（2﹣x）+f（x）＝0．请写出符合条件的一个函数的解析式f（x）＝（答案不唯一）．【分析】根据已知f（﹣x）＝f（x），且f（2﹣x）+f（x）＝0得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可．【解答】解：因为f（2﹣x）+f（x）＝0．得出对称中心（1，0），且f（﹣x）＝f（x）得出对称轴为y轴，所以周期为4的函数都可以．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了函数的对称性和周期性，属于基础题．（多选）13．（2023•全国模拟）已知函数f（x）满足：2f2（x）+3f2（2﹣x）＝5x4﹣16x3+48x2﹣64x+32，则以下不正确的有（）A．f（0）＝4B．f（x）对称轴为x＝4C．f（2）＝3D．f（7）＝25【分析】变形给定等式，求出函数f（x）的解析式，再逐项分析判断作答．【解答】解：因为5x4﹣16x3+48x2﹣64x+32＝2（x4﹣8x3+24x2﹣32x+16）+3x4＝2[（x4﹣8x3+16x2）+8（x2﹣4x）+16]+3x4＝2[（x2﹣4x）+8（x2﹣4x）+16]+3x4＝2（x2﹣4x+4）+3x4＝2（x﹣2）4+3x4，于是2f2（x）+3f2（2﹣x）＝2（x﹣2）4+3x4，可得2f2（2﹣x）+3f2（x）＝2x4+3（2﹣x）4，两式联立解得f（x）＝（x﹣2）2，f（2﹣x）＝x2，因此f（x）＝（x﹣2）2，f（0）＝4，f（7）＝25，AD正确；函数f（x）图象的对称轴为x＝2，f（2）＝0，BC错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了求函数解析式，属于中档题．14．（2023•历城区校级二模）若函数，，则f（x）+g（x）＝．【分析】先求出函数的定义域，然后结合函数定义域即可求解．【解答】解：∵，由﹣（x﹣1）2≥0，得（x﹣1）2≤0得x﹣1＝0，解得x＝1，即函数的定义域为{1}，∵，∴x2+3x﹣2≥0，解得或，∴函数的定义域为，故函数f（x）+g（x）的定义域为{1}，∴，x∈{1}．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件先求出函数的定义域是解决本题的关键，是中档题．四．函数的图象与图象的变换（共4小题）15．（2023•南开区二模）已知函数f（x）＝ln|x|﹣ex，则f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】求出f（1）＜0，可排除A，B，C，即可得出答案．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝ln1﹣e＝﹣e＜0，排除A，B，C．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象的变换，属于基础题．16．（2022•甲卷）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．17．（2022•甲卷）函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．【解答】解：f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），函数是奇函数，排除BD；当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．18．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在（1，3）存在零点，可排除B选项，再利用基本不等式可判断CD选项错误．【解答】解：首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在（1，3）存在零点，而对于B选项：令y＝0，即，解得x＝0，或x＝1或x＝﹣1，故排除B选项；