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综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）一．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）1．（2023•大理州模拟）若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（）A．B．C．4D．12【分析】先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．【解答】解：因为平面向量与的夹角为60°，，，所以||＝2，，所以．故选：B．【点评】本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．2．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝，＝2，则•＝（）A．18B．9C．12D．6【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为的数量积求解．【解答】解：∵＝2，∴，＝，∴•＝＝＝＝＝6．故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．3．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有，则tanC的最大值是（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a，b，c的关系，利用基本不等式求出cosC的最小值，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，从而得出sinC的最大值，即可得出答案．【解答】解：∵，∴，又，，∴，∴，即a2+2b2＝3c2，∴由余弦定理得，当且仅当即时等号成立，在△ABC中，C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，此时，∴，即tanC的最大值是．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．4．（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°，，若AD⊥AC，则λ＝（）A．B．C．D．【分析】将表示成，再根据，利用平面向量数量积的运算求出λ的值．【解答】解：，∵AD⊥AC，∴，∴，则，，，（1﹣λ）×1×2×cos135°+λ22＝0，，即，即，解得，即．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．5．（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为．【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可．【解答】解：设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，则＝，在正三角形ABC中，，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为：．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．6．（2023•重庆模拟）已知向量的夹角为60°，，若对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则m的取值范围是（）A．[e3，+∞）B．[e，+∞）C．D．【分析】根据向量数量积的定义求得，于是由数量积的应用可得，对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，则将转化为，即，则构造函数得函数在（m，+∞）上单调递减，求导判断f（x）单调性，即可得m的取值范围．【解答】解：已知向量的夹角为60°，，则，所以，所以对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则x11nx2﹣x21nx1＜2x1﹣2x2，所以，即，设，即f（x）在（m，+∞）上单调递减，又x∈（0，+∞）时，，解得x＝e3，所以x∈（0，e3），f'（x）＞0，f（x）在x∈（0，e3）上单调递增；x∈（e3，+∞），f'（x）＜0，f（x）在x∈（e3，+∞）上单调递减，所以m≥e3．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，导数研究函数的单调性，属中档题．7．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且，当∠C取最大值时，cosC＝（）A．B．C．D．【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解．【解答】解：由题意，所以，即，所以，所以AG⊥BG，又，，则，所以，即abcosC＝bccosA+accosB+c2，由，，，所以a2+b2＝5c2，所以，当且仅当a＝b时等号成立，又y＝cosx在（0，π）上单调递减，C∈（0，π），所以当∠C取最大值时，cosC＝．故选：A．【点评】此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得a2+b2＝5c2，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题．8．（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB＝2，则＝（）A．B．C．D．【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到OA，余弦定理求cos∠AOB，利用向量数量积公式求．【解答】解：若AB＝2，则圆弧AC、BC的半径为2，设圆O的半径为r，则OA＝2﹣r，过O作OD⊥AB，则OD＝r，AD＝1，Rt△ODA中，OA2＝OD2+AD2，即（2﹣r）2＝r2+1，解得，则有，△AOB中，由余弦定理得，∴．故选：A．【点评】本题考查新情景问题下的圆的综合应用，涉及三角函数公式，数形结合思想，属于中档题．9．（2023•宜章县二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（）．（1）求C；（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，•＝2，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式化简运算，即可得解；（2）根据平面向量数量积的运算法则，推出||cosB＝||，进而知BD为外接圆的直径，设∠BAC＝α，利用正弦定理，用含α的式子表示AD，CD和BC，再由S＝AB•AD+BC•CD，并结合三角函数的知识，得解．【解答】解：（1）由正弦定理及b＝2csin（），知sinB＝2sinCsin（），所以sin（A+C）＝2sinC（sinA+cosA），所以sinAcosC+cosAsinC＝sinCsinA+sinCcosA，即sinAcosC＝sinCsinA，因为sinA≠0，所以tanC＝＝，又C∈（0，π），所以C＝．（2）因为•＝2，所以||•||cosB＝||2，即||cosB＝||，所以∠BAD＝，即BD为外接圆的直径，所以∠BCD＝，由（1）知，∠ACB＝，所以∠ACD＝﹣＝，设∠BAC＝α，则∠CAD＝﹣α，由c＝1，∠ACB＝知，外接圆的直径R＝＝＝2，在△ACD中，由正弦定理知，R＝＝，所以AD＝2sin＝，CD＝2sin（﹣α）＝2cosα，在△ABC中，由正弦定理知，R＝，所以BC＝2sinα，所以四边形ABCD面积S＝AB•AD+BC•CD＝×1×+×2sinα×2cosα＝+sin2α，因为α∈（0，），所以2α∈（0，π），所以当2α＝，即α＝时，sin2α取得最大值1，此时S取得最大值+1，故四边形ABCD面积的最大值为+1．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式，平面向量数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二．投影向量（共6小题）10．（2023•湖南模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】由已知可求得，然后根据投影向量的公式，即可得出答案．【解答】解：因为，，所以，所以，向量在向量上的投影向量为．故选：C．【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．11．（2023•全国二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解．【解答】解：由已知条件得：，即，又在方向上的投影向量为．故选：A．【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．12．（2023•武陵区校级模拟）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量．【解答】解：设向量与的夹角为θ，则，则在上的投影向量为．故选：B．【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．13．（2023•静安区二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于．【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：向量，则，，则2，即，解得，故在方向上的投影向量等于＝．故答案为：．【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．14．（2023•石家庄二模）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．【解答】解：∵，∴，可得，所以在方向上的投影向量为．故选：B．【点评】本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．15．（2023•河北三模）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为．【分析】由得，计算在方向上的投影，进而得在方向上的投影向量．【解答】解：因为，所以，为单位向量，，又因为，所以，即，在方向上的投影为，所以在方向上的投影向量为．故答案为：．【点评】本题主要考查投影向量的公式，考查转化能力，属于中档题．三．平面向量的基本定理（共5小题）16．（2023•泰州模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝（）A．B．C．D．【分析】利用平面向量的四则运算求及平面向量基本定理出m，n即可．【解答】解：由题意可得＝，所以m＝，，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．17．（2023•贵阳模拟）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣【分析】利用向量加法的三角形法则以及中点的性质化简即可求解．【解答】解：因为AD为BC边上的中线，E为AD的中点，所以＝＝+＝＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．18．（2023•淄博模拟）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2，，过点O作OD垂直AB于点D，则（）A．B．C．D．【分析】由题意设＝λ+（1﹣λ），λ∈R，利用•＝0列方程求出λ的值．【解答】解：△ABO中，OA＝1，OB＝2，，过点O作OD垂直AB于点D，如图所示：设＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，则•＝[λ+（1﹣λ）]•（﹣）＝λ•﹣λ+（1﹣λ）﹣（1﹣λ）•＝﹣λ﹣λ+4（1﹣λ）+（1﹣λ）＝﹣7λ+5＝0，解得λ＝，所以＝+．故选：A．【点评】本题考查了两个向量的数量积运算与向量的加减法运算问题，是基础题．19．（2023•开封一模）已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用向量的线性运算即可求得．【解答】解：因为，所以．所以．故选：A．【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．20．（2023•海安市校级一模）已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当时，＝（）A．B．C．D．【分析】设＝λ，由求出λ，得到P为△ABC的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．【解答】解：设＝λ（0＜λ＜1），则＝﹣＝﹣λ，＝﹣λ，∴•＝（﹣λ）•（﹣λ）＝•﹣λ•﹣λ•+λ2＝2﹣λ×2×××2+3λ2＝3λ2﹣6λ+2＝﹣，∴9λ2﹣18λ+8＝0，∴λ＝或λ＝（舍去），∴P为△ABC的重心，∵PE⊥AC，∴E为AC的中点，∴＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣+，故选：B．【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）21．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，