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综合训练06函数的应用（8种题型60题专练）一．函数的零点（共3小题）1．（2023•毕节市模拟）给出下列命题：①函数f（x）＝2x﹣x2恰有两个零点；②若函数在（0，+∞）上的最小值为4，则a＝4；③若函数f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝4，则；④若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则实数m的取值范围是（0，1]．其中正确的是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【分析】根据函数的基本性质，逐一分析选项，即可得出答案．【解答】解：对于①：当x＞0时，f（x）＝2x﹣x2有2个零点，2和4，作出y＝x2和y＝2x的图像，当x＜0时，函数f（x）＝2x﹣x2有1个零点，∴函数f（x）＝2x﹣x2有3个零点，故①错误；对于②：，即，则a＝4，故②正确；对于③：①，②，∵f（x）+f（1﹣x）＝4，∴，，…，，∴①+②＝4×9＝36，∴，故③正确；对于④：若关于x的方程2|x|﹣m＝0有解，则m＝2|x|，∵|x|≥0，∴m≥1，故④错误，故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断和函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）2．（2023•长沙模拟）已知函数f（x）＝|sinx|+|cosx|﹣sin2x﹣1，则下列说法正确的是（）A．f（x）是以π为周期的函数B．直线是曲线y＝f（x）的对称轴C．函数f（x）的最大值为，最小值为D．若函数f（x）在区间（0，Mπ）上恰有2023个零点，则【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知f（x）是以π为周期的函数，所以根据求解f（x）在区间[0，π]上的最大值即可判断选项C，利用f（x）在区间[0，π]上的零点个数即可判断选项D．【解答】解：对于A，∵f（x+π）＝f（x），∴f（x）是以π为周期的函数，故A正确；对于B，有f（π﹣x）＝|sinx|+|cosx|+sin2x﹣1≠f（x），故B错误；对于C，由A知只需考虑f（x）在区间[0，π]上的最大值，当时，令，则，易知u（t）在区间上单调递减，∴f（x）的最大值为u（1）＝0，最小值为；当时，令，则，易知v（t）在区间上单调递增，∴f（x）的最大值为，最小值为v（1）＝0，综合可知：函数f（x）的最大值为，最小值为，故C正确；对于D，∵f（x）是以π为周期的函数，可以先研究函数f（x）在区间（0，π]上的零点个数，易知f（π）＝0，当时，令f（x）＝u（t）＝﹣t2+t＝0，解得t＝0或1，∵，则，则在区间上无解，在区间上仅有一解，当时，令f（x）＝v（t）＝t2+t﹣2＝0，解得t＝﹣2或1，∵，则，则在区间上无解，在区间上也无解，综合可知：函数f（x）在区间（0，π]上有两个零点，分别为和x＝π，又∵f（x）是以π为周期的函数，∴若n∈N*，则f（x）在区间（0，nπ]上恰有2n个零点，又已知函数f（x）在区间（0，Mπ）上恰有2023个零点，∴，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查命题真假的判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题．3．（2023•宝山区校级模拟）已知函数y＝f（x）是定义域在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x﹣2）（x﹣3）+0.02，则关于y＝f（x）在R上零点的说法正确的是（）A．有4个零点，其中只有一个零点在（﹣3，﹣2）内B．有4个零点，其中只有一个零点在（﹣3，﹣2）内，两个在（2，3）内C．有5个零点，都不在（0，2）内D．有5个零点，其中只有一个零点在（0，2）内，一个在（3，+∞）【分析】本题可以先从函数图象右侧入手借助于图象或性质找到其零点，然后根据奇函数特性f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0，加上奇函数对称性应用，即可以找到所有零点位置．【解答】解：根据对称性可以分三种情况研究：（1）x＞0的情况，f（x）是把抛物线y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴交点为（2，3）向上平移了0.02，则与x轴交点变至（2，3）之间了．所以在（2，3）之间有两个零点．（2）当x＜0时，f（x）＝﹣（x+2）（x+3）﹣0.02，根据对称性（﹣3，﹣2）之间也有两个零点，（3）f（x）是定义在R上的奇函数，故f（0）＝0（奇函数特性），所以有五个零点．故选：C．【点评】本题考查学生灵活运用函数零点和运用奇函数性质的能力，属于难题．二．函数零点的判定定理（共2小题）4．（2023•西安模拟）已知f（x）＝ex+lnx+2，若x0是方程f（x）﹣f'（x）＝e的一个解，则x0可能存在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据题意，求出g（x）的解析式，分析g（x）的单调性，结合函数零点判定定理分析可得答案．【解答】解：已知f（x）＝ex+lnx+2，则，x＞0，设g（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣e，则，易得y＝g（x）（0，+∞）上为增函数，又g（2）＜0而g（3）＞0，则则x0可能存在的区间是（2，3）．故选：C．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数与方程的关系，属于中档题．5．（2023•东方校级模拟）已知函数，其中n为正整数，a＜0且为常数．若对于任意n，函数y＝fn（x）在内均存在唯一零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，﹣1）B．C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）D．【分析】求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数零点存在定理，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数fn′（x）＝nxn﹣1+1，当x＞0时，恒成立，∴函数在（0，+∞）上单调递增，若函数y＝fn（x）在内均存在唯一零点只需即可，即，∵n为正整数，，∴对一切n≥1成立，∵当n≥1时，，当且仅当n＝1时等号成立，∴a∈（﹣2，﹣1）．故选：A．【点评】本题主要考查函数零点存在定理的应用，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数零点存在条件转化为不等式关系进行求解是解决本题的关键，是中档题．三．函数的零点与方程根的关系（共22小题）6．（2023•普陀区校级模拟）定义符号函数，则方程的解集为．【分析】由，可得x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），按照分段函数分类讨论即可．【解答】解：由方程，可得x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，原式等价于2log2x+0＝1，log2x＝，x＝＝；当x＜0时，原式等价于0+2×2x＝1，即2x+1＝1，x+1＝0，x＝﹣1，故答案为：{﹣1，}．【点评】本题属于新概念题，考查了对数函数、指数函数的性质及分类讨论思想，属于基础题．7．（2023•叙州区校级模拟）已知函数f（x）＝|x﹣m|．（1）当m＝2时，解不等式；（2）若函数有三个不等实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）函数有三个不等实根转化为x|x﹣m|＝1有三个实根，分m＝0，m＞0及m＜0三种情况讨论即可求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝2时，，即．当x≤1时，，即，此式恒成立，故x≤1；当1＜x＜2时，，即，解得；当x≥2时，，即，此式不成立，不等式无解．综上，原不等式的解集是．（2）由，可得x|x﹣m|＝1，显然当x＝0时，等式不成立，令．①当m＝0时，g（x）在定义域内单调递增，不符合题意，舍去．②当m＞0时，g（x）在上单调递增，在上单调递减，在[m，+∞）上单调递增，且g（m）＝0，则只需满足，解得m＞2或m＜﹣2，故m＞2．③当m＜0时，g（x）在（﹣∞，m]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且g（m）＝0，故不可能有三个实数根．综上所述，实数m的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法、转化思想、分类讨论思想，属于基础题．8．（2023•甲卷）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象的变换，函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9．（2023•武侯区校级模拟）函数f（x）＝ex﹣1﹣sin（11x）在[0，+∞）上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】令f（x）＝0，可得ex﹣1＝sin（11x），作出y＝ex﹣1，y＝sin（11x）的图象，结合图象即可得解．【解答】解：令f（x）＝0，可得ex﹣1＝sin（11x），作出函数y＝ex﹣1，y＝sin（11x）的大致图象如下图所示，由于，且，结合图象可知，函数y＝ex﹣1与函数y＝sin（11x）的图象在[0，+∞）上有2个交点，即函数f（x）在[0，+∞）上有2个零点．故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．10．（2023•西宁二模）函数的所有零点之和为（）A．4B．5C．6D．7【分析】令f（x）＝0两个解为零点，将零点问题转换成，h（x）＝|x﹣1|两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且g（x）和h（x）的图象关于x＝1对称，零点也关于x＝1对称，即可求出所有零点之和．【解答】解：令f（x）＝0，得，解得x＝﹣3或x＝5，即为零点，令，h（x）＝|x﹣1|，g（x）的周期，对称轴x＝1+4k，k∈Z，且h（x）的对称轴x＝1，做出和h（x）＝|x﹣1|的图象如图所示：显然，f（x）在（0，1）和（1，2）上各存在一个零点，∵，h（4）＝3＞g（4）＝0，在（4，5）上两函数必存在一个交点，∴f（x）在（4，5]上有两个零点，同理f（x）在[﹣3，﹣2）上存在两个零点，所以f（x）在[﹣3，5]上存在6个零点，因为g（x）和h（x）关于x＝1对称，则f（x）零点关于x＝1对称，所以f（x）的所有零点之和为6×1＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．11．（2023•丰台区校级三模）设函数f（x）＝Asinωxcosωx+cos2ωx（A＞0，ω＞0），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得f（x）存在．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，求m的取值范围．条件①：f（x）＝f（﹣x）；条件②：f（x）的最小值为；条件③：f（x）的图象的相邻两个对称中心之间的距离为．【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简f（x），再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）根据x的取值范围的取值范围，再求出函数在上的单调性，依题意y＝f（x）与y＝m在上有两个交点，即可求出参数的取值范围．【解答】解：（1）若选择条件①，因为，所以，由f（x）＝f（﹣x）可得Asin2ωx＝0对x∈R恒成立，与A＞0，ω＞0矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，其中，，因为f（x）的最小值为，所以，解得，所以，设，则，由f（x）的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，可得，所以，解得ω＝1，所以；（2）当时，，令，解得，所以f（x）在上单调递增，且，则，令，解得，所以f（x）在上单调递减，且，则，因为函数g（x）＝f（x）﹣m恰有两个零点，所以y＝f（x）与y＝m在上有两个交点，所以，即实数m的取值范围为．【点评】本题主要考查了函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了由函数零点求解参数的范围，属于中档题．12．（2023•乙卷）函数f（x）＝x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣3，0）【分析】求函数的导数，f（x）存在3个零点，等价为f′（x）＝0有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可