重难点03函数的单调性（6种考法）（解析版）

重难点03函数的单调性（6种考法）【目录】考法1：定义法判断或证明函数的单调性考法2：根据函数的单调性求参数值考法3：复合函数的单调性考法4：根据函数的单调性解不等式考法5：比较函数值的大小考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性一．函数的单调性【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值二、命题规律与备考策略或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．二、函数单调性判断【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．三、复合函数的单调性【解题方法点拨】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．【命题方向】理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．四．函数奇偶性【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．五、奇偶性与单调性的综合【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．考法1：定义法判断或证明函数的单调性一、单选题1．（2023·北京顺义·统考一模）下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（）A．cosyxB．exyC．lgyxD．1yx【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，函数cosyx的定义域为R，且满足cos()cosxx，所以其为偶函数，在0,π上单调递减，在π,2π上单调递减，故A不符合题意；对于B，设exyfx，函数e,0e1(),0exxxxfxx的定义域为R，且满足fxfx，所以函数exfx为偶函数，当,()0x时，exfx为单调递增函数，故B符合题意；对于C，函数lgyx的定义域为(0,)，不关于原点对称，所以函数lgyx为非奇非偶函数，故C不符合题意；三、题型方法对于D，设1()yfxx，函数1()fxx的定义域为(,0)(0,)，关于原点对称，且满足fxfx，所以函数1()fxx为奇函数，又函数()fx在(0,)上单调递减，故D不符合题意.故选：B.2．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数fx同时满足性质:①fxfx;②当12,0,1xx时,12120fxfxxx,则函数fx可能为()A．2fxxB．1()2xfxC．()cos4fxxD．ln1fxx【答案】D【分析】①()()fxfx说明()fx为偶函数，②121212,(0,1),0fxfxxxxx,说明函数在(0,1)上单调递减,再逐项分析即可.【详解】①()()fxfx说明()fx为偶函数，②121212,(0,1),0fxfxxxxx,说明函数在(0,1)上单调递减.A不满足②，B不满足①，C不满足②,因为()cos4fxx在0,4单调递减，在,14单调递增.对于D,满足①,当(0,1),()ln(1)xfxx,单调递减,也满足②.故选：D.3．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数log,12,1axxfxaxx，对任意12xx，都有12120fxfxxx成立，则a的取值范围是（）A．0,1B．1,2C．0,1D．1,2【答案】B【分析】利用函数单调性的定义以及分段函数的单调性进行求解.【详解】因为对任意12xx，都有12120fxfxxx成立，所以函数fx在定义域内单调递增，因为log,12,1axxfxaxx，所以10log12aaaa，解得12a，故A，C，D错误.故选：B.4．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数x，y，函数fx满足：1fxfyfxyxy，若11f，则满足Nfnnn的n的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】利用递推式判断()fx在*Nx上的符号及单调性，并得到222(1)2fxfxx，即可判断n的个数.【详解】令1210xxxx且均属于*N，则21211fxffxx，所以12220fxfxx，故2122(1)2fxfxfxx，又(1)1f，故()0fx在*Nx上恒成立，且()fx在*Nx上单调递增，所以，满足Nfnnn仅有11f，即n仅有1个.故选：A二、多选题5．（2023·山东·校联考二模）若定义在0,1上的函数fx同时满足：①11f；②对0,1x，0fx成立；③对1x，2x，120,1xx，1212fxfxfxx成立；则称fx为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（）A．2fxx，0,1x是“正方和谐函数”B．若fx为“正方和谐函数”，则00fC．若fx为“正方和谐函数”，则fx在0,1上是增函数D．若fx为“正方和谐函数”，则对0,1x，2fxx成立【答案】ABD【分析】条件③2221212121212()()()()20fxxfxfxxxxxxx．即可判定A，由条件①③可得(0)0f，(00)(0)(0)fff即可求得(0)0f即可判断B，由条件③即可判断C,由迭代递推法即可判断D.【详解】对于A,函数2fxx，0,1x，显然满足条件①②．对任意20x，20x且121xx时，2221212121212()()()()20fxxfxfxxxxxxx．函数2fxx在区间[0，1]上是否为“正方和谐函数”．故A正确.对于B，若函数()fx为“正方和谐函数”，则令10x，20x，得(0)(0)(0)fff，即(0)0f，又由对0,1x，0fx，(0)0f，故B正确；对于C，设1201xx，则2101xx，所以210fxx22112111()()()()()fxfxxxfxxfxfx，即有12()()fxfx，函数()fx在区间0,1上不一定是单调递增，故C错误；对于D，①当0x时，0020f成立，②当112x时，21x，12fxx，③当102x时，12,12x，22fxfx，则122fxfx；显然，当211,22x时，1111212222fxfff成立；假设当111,22kkx时，有12kfx成立，其中1,2,k，那么当2111,22kkx时，11111111111222222222kkkkkfxfff，可知对于111,22nnx，总有12nfx，其中1,2,n，而对于任意10,2x，存在正整数n，使得111,22nnx，此时122nfxx综上可知，满足条件的函数fx对0,1x时总有2fxx成立.故D正确，故选：ABD6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数fx的定义域D关于原点对称，,0mDm且1fm，当0,xm时，0fx；且对任意,,yDxyDxD且xy，都有1fxfyfxyfyfx，则（）A．fx是奇函数B．30fmC．fx是周期函数D．fx在2,3mm上单调递减【答案】ACD【分析】对于A，令txy，根据1fxfyfxyfyfx证明ftft即可判断；对于B，根据1fm，结合1fxfyfxyfyfx即可求得2,3fmfm，即可判断；对于C，先求出fxm，再根据2fxmfxmm求出2fxm，即可判断；对于D，令23myxm，先判断,fxfy