重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）（解析版）

重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）【目录】5种解题模型一、一元二次型不等式恒成立问题二、一元二次型不等式能成立问题三、基本不等式中“1”的妙用四、利用基本不等式求参数范围五、作差法比较大小5种数学思想一、函数与方程思想二、数形结合思想三、分类与整合思想四、转化与划归思想五、特殊与一般思想考题考点考向2022新高考2，第12题基本不等式利用基本不等式求最值2020新高考1，第11题不等式的概念和性质比较大小本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、题型解题技巧之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.6.在解决不等式ax2＋bx＋c0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5种解题模型一、一元二次型不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知:[1,5]px，2420xxa恒成立，则p的一个充分不必要条件是（）A．1aB．236aC．264aD．2log3a【答案】D【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.【详解】1.5x，2242042xxaaxx，得6a，A是p的必要不充分条件，B是p的必要不充分条件，C：2646aa是p的充要条件，D：2log38aa是p的充分不必要条件．故选：D．四、题型方法二、多选题2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知p：xR，210xax恒成立；q：0x，2axx恒成立.则（）A．“2a”是p的充分不必要条件B．“2a”是p的必要不充分条件C．“2a”是q的充分不必要条件D．“2a”是q的必要不充分条件【答案】BC【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数a的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.【详解】已知p：xR，210xax恒成立，则方程210xax无实根，所以240a恒成立，即22a，故“2a”是p的必要不充分条件，故A错误，B正确；又q：0x，2axx恒成立，所以22axx在0x时恒成立，又函数22211yxxx的最大值为1y，所以1a，故“2a”是q的充分不必要条件，故C正确，D错误.故选：BC.三、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数x，不等式2222224(1)2(1)log2loglog014aaaxxaaa恒成立，则a的取值范围为________.【答案】(0,1)【分析】不妨设22alogta1，将不等式等价转化为2(3t)x2tx2t0对一切实数x恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立列出不等式组，解之即可求解.【详解】不妨设22alogta1，则Rt，则22224(a1)8(a1)a12aloglog3log3log3ta2a2aa1，即222222(a1)a1a1loglog[]2log[]2t4a2a2a，所以，原不等式可化为2(3t)x2tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以2304830tttt，解得306ttt或，所以0t，即22alog0a1，则2a01a1，解得01a.故答案为：(0,1).4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式221axxx对,0x恒成立，则a的取值范围是____________．【答案】54a【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．【详解】由不等式221axxx对,0x恒成立，可转化为221xxax对,0x恒成立，即22max1xxax，而22221111151()24xxxxxx，当2x时，2115()24x有最大值54，所以54a，故答案为：54a．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2,Rxfxx，若不等式2()()0fxfxm在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】(,0]．【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.【详解】令2()(0),(),0,fxttHtttt因为211()()24Htt在区间(0,)上是增函数，所以()(0)0.HtH因此要使2ttm在区间(0,)上恒成立，应有0m，即所求实数m的取值范围为(,0]．故答案为：(,0].四、双空题6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为1a，后续各正方形的边长依次为23,,,,naaa；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为1b，后续各直角三角形的面积依次为23,,,,nbbb，则33ab___；记数列nb的前n项和为nS，若对于2210nnSS恒成立，则的最大值为___．【答案】375256/1191256113/233【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列,nnab的通项公式，从而就可以求出nS的表达式，再用参数分离求的最大值即可.【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为123,,,,naaaa，则221211113104,444aaaaa，222322211310104444aaaaa，……，2211111310104444nnnnnnaaaaaa，于是数列na是以4为首项，104为公比的等比数列，则11044nna.由题意可得：4ABCDEFGHAHESSS正方形正方形，即2222231212,,44aaaabb……，221,4nnnaab于是2221101016164435428nnnnb.所以33ab2210353754428256，513584152818nnnS，是关于n的增函数，所以342nS，由2210nnSS恒成立得212nnSS，令22221112nnnnnnSySSSSS，所以当3[,4)2nS时212nnySS单调递增，所以1133[,)34y，所以的最大值为113，故答案为：375256；113【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列,nnab的通项公式，先写出数列的前几项，通过找规律发现递推关系从而得到通项公式.五、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数224Rfxxaxa．若对任意的0,4x，10fxa恒成立，求实数a的取值范围．【答案】5,4【分析】首先不等式变形为2125axxx恒成立，讨论x的取值，利用参变分离，结合基本不等式，转化为求函数最值问题.【详解】∵对任意的0,4x，10fxa恒成立，2250xaxa恒成立，即2125axxx恒成立．当1x时，不等式为04恒成立；当1,4x时，2254111xxaxxx，14x，013x，4141xx，当且仅当411xx时，即12x，3x时取“=”．4a．当1,0x时，2254411111xxaxxxxx．∵01x，011x．令1tx，则0,1t，∵函数4ytt在0,1上单调递增，∴当11tx，即0x时，函数4ytt取到最大值5，5a．综上所述，a的取值范围是5,4．二、一元二次型不等式能成立问题一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知1sin3cossin2222xxxfx.若存在0π,π6x，使不等式20132fxmm有解，则实数m的取值范围为（）A．0,3B．,03,C．1,32D．5,0,2【答案】B【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.【详解】1sin3cossin2222xxxfx13sincossinsin22222xxxx1cos31sin222xx31sincos22xxππcossinsincos66xxπsin6x，若存在0π,π6x，使不等式20132fxmm有解，则问题转化为在0π,π6x上20min132mmfx因为0ππ6x，所以0ππ7π366x，所以0112fx≤≤，所以221133022mmmm，解得：3m或0m即实数m的取值范围为：,03,，故选：B.2．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合20Axx，21,04BaxxaxR，则AB（）．A．1,2B．2,1C．2,1D．2,1【答案】D【分析】由题得0，解出a的范围，再根据交集含义即可得到答案.【详解】因为xR，2104xax，所以210a，所以1a或1a，所以{1Baa∣或1}a，所以2,1AB．故选：D.3．（2023·四川德阳·统考模拟