搜索
综合训练10平面解析几何（24种题型60题专练）一．直线的倾斜角（共1小题）1．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可．【解答】解：由题意可得：直线l的斜率，即直线l的倾斜角为．故选：A．【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．二．直线的斜率（共2小题）（多选）2．（2023•定远县校级模拟）如图所示，边长为2的等边△OAB从起始位置（OA1与y轴重合）绕着O点顺时针旋转至OB与x轴重合得到△OA2B2，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．边AB所在直线的斜率的取值范围是B．边AB所在直线在y轴上截距的取值范围是[2，4]C．边A1B1与边A2B2所在直线的交点为D．当AB的中垂线为x﹣y＝0时，【分析】求出直线A1B1、A2B2的斜率，可判断A选项的正误；设点，其中，求出直线AB在y轴上的截距的取值范围，可判断B选项；求出边A1B1与边A2B2所在直线的交点坐标，可判断C选项；求出直线OB的斜率，可判断D选项．【解答】解：由题意可知，A1（0，2）、、、B2（2，0），，，对于A选项，边AB所在直线斜率的取值范围是，A对；对于B选项，设AB边的中点为E，则，且OE⊥AB，设点，其中θ为锐角，设∠xOB＝α，则，因为，则，kOE＝tanθ，则，所以，直线AB的方程为，即，所以，边AB所在直线在y轴上截距为，B错；对于C选项，直线A1B1的方程为，直线A2B2的方程为，联立，解得，因此边A1B1与边A2B2所在直线的交点为，C对；对于D选项，当AB的中垂线为x﹣y＝0时，即kOE＝tanθ＝1，则，则，所以，D对．故选：ACD．【点评】本题主要考查了直线的斜率，以及直线斜率与倾斜角的关系，考查了求两直线交点坐标，属于中档题．（多选）3．（2023•广东二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（）A．2B．C．D．【分析】假设AB所在的直线过点（0，0），分类讨论CD所在的直线所过的点，结合图象分析运算．【解答】解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点（0，0），设直线AB的倾斜角为，斜率为k，①若CD所在的直线过点（1，0），如图，可得BC＝sinα，CD＝2cosα，因为BC＝CD，即sinα＝2cosα，则k＝tanα＝2；②若CD所在的直线过点（2，0），如图，可得BC＝2sinα，CD＝3cosα，因为BC＝CD，即2sinα＝3cosα，则；③若CD所在的直线过点（4，0），如图，可得BC＝4sinα，CD＝cosα，因为BC＝CD，即4sinα＝cosα，则；综上所述：k的可能值为．故选：ABD．【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于中档题．三．直线的截距式方程（共1小题）4．（2023•武汉模拟）直线l1：y＝2x和l2：y＝kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：﹣2和．【分析】根据给定条件，按等腰三角形底边所在直线分类，结合斜率的意义及二倍角的正切求解作答即可．【解答】解：令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tanα＝2，tanθ＝k，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π﹣α，k＝tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣2；当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈（0，），tanα＝tan2θ＝＝2，整理得k2+k﹣1＝0，而k＞0，解得k＝．所以的两个可能取值﹣2，．故答案为：﹣2；．【点评】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，二倍角公式，属于基础题．四．直线的一般式方程与直线的平行关系（共2小题）5．（2023•青岛三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3），若直线l：ax+（a2﹣3）y﹣9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣1或3D．3【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解．【解答】解：由△ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，3）知，△ABC重心为，即（1，1），又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即，所以可得△ABC的欧拉线方程，即x+2y﹣3＝0，因为ax+（a2﹣3）y﹣9＝0与x+2y﹣3＝0平行，所以，解得a＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．6．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，则a＝3．【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：两条直线ax+2y+4＝0与3x+（a﹣1）y﹣6＝0平行，由直线平行得a（a﹣1）﹣2×3＝0，解得a＝3或﹣2，经检验，a＝﹣2时直线重合，舍去，故a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共3小题）（多选）7．（2023•安徽模拟）已知直线l1：（sinα）x﹣（cosα）y+1＝0，l2：（sinα）x+（cosα）y+1＝0，l3：（cosα）x﹣（sinα）y+1＝0，l4：（cosα）x+（sinα）y+1＝0．则（）A．存在实数α，使l1∥l2B．存在实数α，使l2∥l3C．对任意实数α，都有l1⊥l4D．存在点到四条直线距离相等【分析】利用直线平行、直线垂直的条件和点到直线的距离逐项检验即可求解．【解答】解：当α＝0时，l1：y＝1，l2：y＝﹣1，l1∥l2，故选项A正确；∵sinα⋅（﹣sinα）﹣cos2α＝﹣1≠0，所以l2与l3不平行，故选项B错误；∵sinα⋅cosα+（﹣cosα）⋅（sinα）＝0恒成立，∴l1⊥l4，故选项C正确；坐标原点（0，0）到四条直线距离均为1，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查直线平行、垂直的性质，属于基础题．8．（2023•湖北模拟）已知动直线l的方程为（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0，a∈R，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（）A．（0，5]B．[1，5]C．[5，+∞）D．（0，3]【分析】解法一：利用万能公式将直线方程化为xcosθ+ysinθ﹣3＝0，求出过原点与直线l垂直的直线方程，进而得出点Q的轨迹为圆心为（0，0）半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解．解法二：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及|PO|的长度，即可求解．【解答】解：解法一：由（1﹣a2）x+2ay﹣3a2﹣3＝0可得，令，由万能公式可得，，所以直线l的方程为xcosθ+ysinθ﹣3＝0①，由题意可知过原点与直线l垂直的直线方程为xsinθ﹣ycosθ＝0②，①2+②2可得x2+y2＝9，即表示点Q的轨迹为圆心为（0，0）半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围为[r﹣PO，r+PO]，因为|PO|＝2，所以线段PQ长度的取值范围为[1，5]．解法二：直线l不过定点，则原点O到直线距离d＝＝，故原点O到直线l的距离为定值3，即垂足Q在以O（0，0）为圆心，半径为3的圆上，于是线段PQ长度的取值范围为[r﹣PO，r+PO]，因为|PO|＝2，所以线段PQ长度的取值范围为[1，5]．故选：B．【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．9．（2023•长宁区校级三模）已知直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则a＝2．【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于a的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，直线l1：x+y＝0和l2：2x﹣ay+3＝0（a∈R），若l1⊥l2，则有2﹣a＝0，解可得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．六．两条直线的交点坐标（共2小题）10．（2023•东城区二模）已知三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】由已知可得三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，结合直线的位置关系可求．【解答】解：因为三条直线l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，当三条直线交于一点时，联立可得x＝y＝2，此时2+2k＝0，即k＝﹣1，当两条平行线与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3，所以k＝﹣2或k＝0．故选：C．【点评】本题主要考查了直线位置关系的应用，属于基础题．（多选）11．（2023•江宁区校级模拟）已知直线l1：2x+y﹣6＝0和点A（1，﹣1），过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且AB＝5，则直线l2的方程为（）A．x＝1B．y＝﹣1C．3x+4y+1＝0D．4x+3y﹣1＝0【分析】设点B（x0，6﹣2x0），由A，B两点间的距离列出方程，解出点B，得直线l2的方程．【解答】解：因为点B在直线l1：2x+y﹣6＝0上，设点B（x0，6﹣2x0），因为A（1，﹣1），则，解得x0＝1或x0＝5，则B点坐标为（1，4）或（5，﹣4），当B点坐标为（1，4）时，直线l2的方程为x＝1，当B点坐标为（5，﹣4）时，直线l2的方程为，即3x+4y+1＝0．故选：AC．【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题．七．恒过定点的直线（共2小题）（多选）12．（2023•深圳模拟）设直线系M：xcosθ+ysinθ＝1+2sinθ（0≤θ≤2π），下列命题中的真命题有（）A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【分析】由点到直线的距离公式说明M的集合判断A；举例说明B正确；由任意正n边形都有内切圆判断C；画图说明D错误．【解答】解：点P（0，2）到M中每条直线xcosθ+ysinθ﹣1﹣2sinθ＝0的距离d＝，即M为圆C：x2+（y﹣2）2＝1的全体切线组成的集合，则M中存在两条平行直线，故A错误；∵点（0，2）不适合直线xcosθ+ysinθ﹣1﹣2sinθ＝0，∴存在定点P不在M中的任一条直线上，故B正确；对任意n≥3、存在正n边形使其内切圆为圆C：x2+（y﹣2）2＝1，故C正确；如图：M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查恒过定点的直线，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．13．（2023•江苏模拟）设k∈R，直线l1：kx+y﹣k＝0，I直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，记l1，l2分别过定点A，B，l1与l2的交点为C，则|AC|+|BC|的最大值为4．【分析】由动直线的方程可得动点A，B的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．【解答】解：当k＝0时，l1：y＝0，l2，：x﹣3＝0，∴l1⊥l2．当k≠0时，对于直线l1：kx+y﹣k＝0，即k（x﹣1）+y＝0，过定点A（1，0），对于直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0，即x﹣3﹣k（y﹣2）＝0，过定点B（3，2）．直线l1：kx+y﹣k＝0的斜率为﹣k，直线l2：x﹣ky+2k﹣3＝0的斜率为，∵﹣k•﹣1，∴l1⊥l2．综上可得，l1⊥l2．∵l1与l2的交点为C，∴CA2+CB2＝AB2＝4+4＝8，∴≤（CA2+CB2）＝4，∴≤2，∴CA+CB≤4，当且仅当CA＝CB时，