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重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型）【目录】一、数轴法解集合问题二、由元素集合关系求参数范围三、Venn图法解集合问题四、集合交、并、补全的运算五、元素、子集、集合个数六、推出法解充分必要条件七、集合法解充分必要条件八、充分、必要条件的应用九、量词命题及其否定考题考点考向2022新高考1，第1题集合的基本运算交集运算2022新高考2，第1题集合的基本运算交集运算2021新高考1，第1题集合的基本运算交集运算2021新高考2，第2题集合的基本运算交集，补集运算本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。一、数轴法解集合问题1.数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、题型解题技巧某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。2.问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。二、由元素集合关系求参数范围1、集合包含关系的考查常常出现探索性问题，解决这类问题时，首要要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式，从而求解。2、结合自己的多年高中数学教学经验，我总结出“根据不等式解集之间的关系求参数范围”的步骤：（1）化简所给集合；（2）利用数轴表示所给集合；（3）列出不等式解集端点之间的关系；（4）解不等式。3、此类问题常常用到两个重要的数学思想：一是数形结合思想；二是分类讨论的数学思想。三、Venn图法解集合问题用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．四、集合交、并、补全的运算集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．五、元素、子集、集合个数对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．六、推出法解充分必要条件判定时一是必须明确哪是条件，哪是结论；条件推结论，再由结论推条件，最后下结论．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p七、集合法解充分必要条件设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AÜB；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BÜA；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．八、充分、必要条件的应用九、量词命题及其否定全称命题与特称命题的否定一、数轴法解集合问题一．选择题（共5小题）1．（2023•定西模拟）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（）A．A⊆BB．B⊆AC．A∪B＝RD．A∩B＝∅【分析】由数轴法得出集合A，B的包含关系，结合选项逐一检验．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，因此选项B正确，选项A，C，D错误；故选：B．【点评】本题考查集合间的关系，考查集合的交并补运算，属于基础题．2．（2023春•安丘市月考）设集合M＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}，N＝{x|2x＜4}，则（）A．M＝NB．M⊇NC．M∩N＝∅D．M∪N＝N【分析】分别利用对数函数和指数函数的性质化简集合M和N，并逐一检验选项得出答案．【解答】解：由题意，log0.5（x﹣1）＞0＝log0.51，即0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，集合M＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}＝{x|1＜x＜2}，集合N＝{x|2x＜4}＝{x|2x＜22}＝{x|x＜2}，则M⊆N，故选：D．【点评】本题考查集合间的关系，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．3．（2023•郑州模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{1，2，4}【分析】根据集合交集的运算求解．【解答】解：集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：C．【点评】本题考查集合的交集，考查学生计算能力，属于基础题．4．（2022•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{y∈Z|y＝3sinx，x∈R}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．{2，3}D．{3}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．四、题型方法【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝[2，3]，B＝{y∈Z|y＝3sinx，x∈R}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{2，3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．5．（2022秋•定州市期末）已知集合A＝{x∈R|x2≤9}，B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（）A．[﹣3，﹣1）∪（2，3]B．[﹣3，﹣2）∪（1，3]C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【分析】化简集合A，B，再根据补集与交集的定义，求出（∁RA）∩B．【解答】解：A＝{x∈R|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，则∁RA＝{x|x＞3或x＜﹣3}，B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}，则（∁RA）∩B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故选：C．【点评】本题考查集合的交集、补集的混合运算，是基础题．二．填空题（共1小题）6．（2023•上海开学）设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有7个元素．【分析】可根据题意设出S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，然后进行并集的运算求出S∪T，从而可得出S∪T中的元素个数．【解答】解：根据题意设S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，∴S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，∴S∪T的元素个数为7．故答案为：7．【点评】本题考查了子集的定义，列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．三．解答题（共1小题）7．（2022秋•湘潭期末）设全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣12x+20≤0}，N＝{x|lnx＜2ln3}，P＝{x|2a＜x＜a+5}．（1）求M∪N，M∩（∁UN）；（2）若P⊆N，求a的取值范围．【分析】（1）分别化简集合M和集合N，根据交集，并集和补集的定义求解即可；（2）分集合P＝∅和P≠∅两种情况，由P是N的子集，列不等式组，解出a的取值范围．【解答】解：（1）集合M＝{x|x2﹣12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10}，N＝{x|lnx＜2ln3}＝{x|0＜x＜9}，则M∪N＝{x|0＜x≤10}；又∁UN＝{x|x≤0或x≥9}，则M∩（∁UN）＝{x|9≤x≤10}；（2）当2a≥a+5，即a≥5时，P＝∅，符合题意；当2a＜a+5，即a＜5时，若P⊆N，则，解得0≤a≤4，综上，a的取值范围为{a|a≥5或0≤a≤4}．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，集合间的关系，考查了分类讨论思想和计算能力，属于基础题．十、由元素集合关系求参数范围一．选择题（共3小题）1．（2022秋•桂林期末）下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0，1，2}B．∅∈{0，1，2}C．∅⊆{2，0，1}D．{1}∈{0，1，2}【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念即可求解．【解答】解：对A，∵1∈{0，1，2}，∴A错误；对B，∵∅⫋{0，1，2}，∴B错误；对C，∵∅⊆{2，0，1}，∴C正确；对D，∵{1}⫋{0，1，2}，∴D错误．故选：C．【点评】本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念，属基础题．2．（2023•香坊区校级一模）已知集合A＝{x|x2+x≤2}，B＝{1，a}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{x|﹣2≤x＜1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】解一元二次不等式化简集合A，由B⊆A，以及集合B中元素的互异性，得出实数a的取值集合．【解答】解：集合A＝{x|x2+x≤2}＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{1，a}，若B⊆A，则实数a的取值集合为{x|﹣2≤x≤1}，又集合元素具有互异性，∴a的取值集合为{x|﹣2≤x＜1}．故选：C．【点评】本题考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．3．（2023•宁德模拟）集合A＝{x|y＝}，，若A∩B＝{x|2≤x≤3}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】集合A需求函数y的定义域，集合B转化成一元二次不等式，将解集表示出来，根据A∩B＝{x|2≤x≤3}，可得a的值．【解答】解：x2+x﹣6≥0，∴（x+3）（x﹣2）≥0，∴x≥2或x≤﹣3，则A＝{x|x≥2或x≤﹣3}，≤0等价于（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，且x≠a，∴a＜x≤a+2，B＝{x|a＜x≤a+2}，∵A∩B＝{x|2≤x≤3}，∴a+2＝3，∴a＝1，此时B＝{x|1＜x≤3}