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重难点10空间距离与体积问题（2种考法）【目录】考法1：距离问题考法2：体积问题一.求点到平面的距离的四步骤二、常见几何体体积的四种求法1.直接法求体积（也称公式法）直接利用常见几何体的体积计算公式求解体积即可。可直接使用公式的题目，“高”一般都可直接或间接找到2.等体积法求三棱锥体积1、等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。2、尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。【注意】“换底”的结果是使新底面所对应的高简单易求。3.多面体割补法求体积1、分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；【注意】大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥多从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；二、命题规律与备考策略（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。【注意】题设条件存在将规则几何体切去一些部分剩余的几何体的情况，补形法可简化题目。4.两部分体积比例法（转移法）利用祖暅原理和等积変化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积。【注意】利用好“同底等高”和“同底比例高”，本质就是寻找合适的底面和平行高转化。考法1：距离问题1．（2023•新乡一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为32，△DEF的面积为4，求B到平面DEF的距离．【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，可得线线平行，根据面面平行的判定定理及性质定理可得证；（2）由等体积法可求出B到平面DEF的距离．【解答】解：（1）证明：取AB的中点G，连接EG，FG，因为G，F分别是AB，PB的中点，所以GF∥AP．又FG⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，所以FG∥平面PAD．因为E是CD的中点，所以ABCD是平行四边形，三、题型方法同理可得，EG∥平面PAD．因为FG∩EG＝G，EG，FG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PAD．因为EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PAD．（2）因为E是CD的中点，所以△BDE的面积是平行四边形ABCD面积的．因为F是PB的中点，所以三棱锥F﹣BDE的高是四棱锥P﹣ABCD的高的．因为四棱锥P﹣ABCD的体积为32，所以三棱锥F﹣BDE的体积为．设B到平面DEF的距离为d，因为△DEF的面积为4，所以，得d＝3，即B到平面DEF的距离为3．【点评】本题考查线面平行的判定以及点到平面的距离计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2．（2023•陈仓区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD＝AD＝1，PD⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EF⊥PB．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求点F到平面EDB的距离．【分析】（1）利用三角形中位线证明线线平行，利用线面平行的判断，即可证明结论；（2）根据垂直关系以及相似求解长度，利用等体积法求解，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：连接AC交BD于G，连接EG，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴G是AC的中点，又点E是棱PC的中点，∴EG是△PAC的中位线，即PA∥EG，又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，∴PA∥平面EDB；（2）∵PD⊥平面ABCD，DC，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，PD⊥BC，又BC⊥CD，CD⋂PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又PC，DE⊂平面PCD，则PC⊥BC，DE⊥BC，在△PDC中，PD⊥DC，PD＝CD＝1，E是PC的中点，∴，DE⊥PC，又DE⊥BC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，∴DE是三棱锥D﹣BEF的高，在△PBC中，PC⊥BC，，BC＝1，∴，∴Rt△BCP～Rt△EFP，∴，则，，，，在△BDE中，，，，∴由勾股定理的逆定理得BD2＝DE2+BE2，即DE⊥BE，∴，设点F到平面EDB的距离为h，∴，解得，即点F到平面EDB的距离为．【点评】本题考查直线与平面平行和点到平面的距离，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．3．（2023•贵州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，E，F分别是棱BC，PA的中点．（1）证明：EF∥平面PCD．（2）若AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，∠PDC＝120°，求点C到平面DEF的距离．【分析】（1）取AD的中点H，证得HF∥PD，得到HF∥平面PCD，再由HE∥CD，证得HE∥平面PCD，从而证得平面HEF∥平面PCD，即可得到EF∥平面PCD；（2）求得，由DF2+DE2＝EF2，证得DF⊥DE，根据平面PCD⊥平面ABCD，得到点P到平面ABCD的距离是，点F到平面ABCD的距离是，结合VC﹣DEF＝VF﹣CDE，即可求解．【解答】解：（1）证明：取AD的中点H，连接EH，FH．因为F，H分别是棱PA，AD的中点，所以HF∥PD．因为PD⊂平面PCD，HF⊄平面PCD，所以HF∥平面PCD．因为E，H分别是棱BC，AD的中点，所以HE∥CD．因为CD⊂平面PCD，HE⊄平面PCD，所以HE∥平面PCD．因为HE，HF⊂平面HEF，且HE⋂HF＝H，所以平面HEF∥平面PCD．因为EF⊂平面HEF，所以EF∥平面PCD．（2）因为四边形ABCD是梯形，满足AB⊥AD，AB＝1，AD＝PD＝2，CD＝3，且∠PDC＝120°，E，F分别为BC，PA的中点，可得，由（1）可知HF∥PD且HE∥CD，则∠EHF＝∠PDC＝120°，所以，因为DF2+DE2＝EF2，所以DF⊥DE，因为平面PCD⊥平面ABCD且PD＝2，∠PDC＝120°，所以点P到平面ABCD的距离是，因为F是PA的中点，则点F到平面ABCD的距离是，设点C到平面DEF的距离为d，因为VC﹣DEF＝VF﹣CDE，所以，解得，即点C到平面DEF的距离是．【点评】本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于中档题．4．（2023•天津模拟）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（2）求二面角E一BC一F的正弦值；（3）求直线AD到平面EBC的距离．【分析】（1）利用空间向量证明线面平行，即证；（2）利用空间向量求二面角，，再求sinθ；（3）将线面距离转化为点面距离，然后利用空间向量计算点面距离即可．【解答】（1）证明：因为AD∥BC，AD⊥CD，DG⊥平面ABCD，而AD、DC⊂平面ABCD，所以DG⊥AD，DG⊥DC，因此以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DA＝DC＝DG＝2，所以D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），，N（1，0，2），设为平面CDE的法向量，，，则，不妨令z＝﹣1，可得；又，所以，又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE．（2）解：依题意，可得，，，设为平面BCE的法向量，则，不妨令z1＝1，可得，设为平面BCF的法向量，则，不妨令z2＝1，可得，若二面角E﹣BC﹣F的大小为θ，则，因此，∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为．（3）解：由于平面BCE的法向量，，直线AD到平面EBC的距离即点直线D到平面EBC的距离：．【点评】本题主要考查线面平行的证明，二面角的计算，线面距离的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．5．（2023•喀什地区模拟）如图，已知三角形P′AB是等腰三角形，P′A＝AB＝2，P′A⊥AB，C，D分别为P′B，P′A的中点，将△P′CD沿CD折到△PCD的位置如图2，且，取线段PB的中点为E．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）求点B到面ACE的距离．【分析】（1）取PA中点F，连接DF，EF，证明四边形CDEF为平行四边形得CE∥FD，从而证得CE∥平面PAD；（2）等积转化法，由VB﹣ACE＝VE﹣ABC求得点B到面ACE的距离．【解答】解：（1）证明：取PA中点F，连接DF，EF，∵E为PB的中点，则PE＝EB，PF＝FA，∴EF∥AB，，又∵C，D分别为P′B，P′A的中点，则CD∥AB，，∴CD＝EF，CD∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形，则CE∥FD．∵CE⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；（2）由条件知：，PD＝AD＝1，AB＝2，，∴PD⊥DA，又PD⊥DC，AD⋂DC＝D，AD，DC⊂面ABCD，∴PD⊥面ABCD，又BD⊂面ABCD，∴PD⊥BD，∴，∴△PAB为直角三角形，∴；∵，，∴△AEC为直角三角形．∴，S△ABC＝1，点E到面ABC的距离为，∴，设点B到面ACE的距离为d，则VB﹣ACE＝VE﹣ABC，∴，即，∴．【点评】本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．6．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点．（1）证明：PE∥平面BFG；（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到DE∥BF，再得到FG∥PD，从而PD∥平面BFG，DE∥平面BFG，进而得到平面PDE∥平面BFG，因此得证PE∥平面BFG；（2）由PD⊥平面ABCD，FG∥PD，可得FG⊥平面ABCD，作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM，进而得到CM⊥平面BFG，即CM的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可．【解答】解：（1）连接DE，∵ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，∵G是PA的中点，∴FG∥PD，又PD，DE⊄平面BFG，且FG，BF⊂平面BFG，∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG，∵PD∩DE＝D，直线PD，DE在平面PDE内，∴平面PDE∥平面BFG，又PE⊂平面PDE，∴PE∥平面BFG；（2）∵PD⊥平面ABCD，FG∥PD，∴FG⊥平面ABCD，过C在平面ABCD内，作CM⊥BF，垂足为M，则FG⊥CM，∵FG∩BF＝F，又FG，BF⊂平面BFG，∴CM⊥平面BFG，∴CM的长是点C到平面BFG的距离，∵△BCF中，，∴由等面积可得，∴点C到平面BFG的距离为．【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质，线面垂直的判定定理，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．7．（2023•凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝PA＝2，且直线PD与底面ABCD所成的角为．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求点C到平面PBD的距离．【分析】（1）根据线面角可得底面ABCD为正方形，进而根据线线垂直可得线面垂直即可求面面垂直，（2）利用等体积法，结合三棱锥的体积公式即可求解．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，故∠PDA为直线PD与平面ABCD所成的角，因此，又PA＝2，∴AD＝2∵底面ABCD为矩形，且AB＝2，∴底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又PA⊥BD，而AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC，（2）