第01讲 直线的方程（九大题型）（讲义）（解析版）

第目录考点要求考题统计考情分析（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．2008年江苏卷第9题，5分2006年上海卷第11题，4分高考对直线方程的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等,特别要重视直线方程的求法.知识点一：直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l的倾斜角，通常用，，，表示（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0（2）倾斜角的取值范围[0)，2、直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为tank（1）当2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）k越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率k的关系当0k时，直线平行于轴或与轴重合；当0k时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当0k时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，Axy，22()，Bxy则2121yykxx（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12xx，则直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4、三点共线．两直线，ABAC的斜率相等→、、ABC三点共线；反过来，、、ABC三点共线，则直线，ABAC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．知识点二：直线的方程1、直线的截距若直线l与坐标轴分别交于(0)(0)，，，ab，则称，ab分别为直线l的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式11yykxx不含垂直于x轴的直线3、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）4、线段中点坐标公式若点12，PP的坐标分别为1122()()，，，xyxy且线段12PP的中点M的坐标为()，xy，则121222xxxyyy，此公式为线段12PP的中点坐标公式．5、两直线的夹角公式若直线11ykxb与直线22ykxb的夹角为，则2112tan1kkkk.题型一：倾斜角与斜率的计算例1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是直线230xy的倾斜角，则π2sinsin4cos2的值为（）A．43B．453C．4515D．3520【答案】B【解析】法一：由题意可知1tan2，（为锐角），∴12sin,cos55，222sinsin3sincossin45454cos2cossin,5cos2cos2335斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式112121yyxxyyxx不含直线112()xxxx和直线112()yyyy截距式1xyab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式220(0)AxByCAB平面直角坐标系内的直线都适用法二：由题意可知1tan2，（为锐角）∴1cos2sin,sin5，2222sinsinsincossin4sin4454cos2cossin3sin3sin3．故选：B．例2．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线l的一个方向向量为ππsin,cos33p，则直线l的倾斜角为（）A．π6B．π3C．2π3D．4π3【答案】A【解析】由题意可得：直线l的斜率πcos3π3tanπ36sin3k，即直线l的倾斜角为π6.故选：A例3．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过(13)(33)AB,,,两点的直线的倾斜角是（）A．45B．60C．90D．120【答案】D【解析】经过(13)(33)AB,,,两点的直线的斜率为33313，因为直线的倾斜角大于等于0小于180，故经过(13)(33)AB,,,两点的直线的倾斜角是120，故选：D变式1．（2023·全国·高二专题练习）如图，若直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则（）A．132kkkB．312kkkC．123kkkD．321kkk【答案】A【解析】解析设直线123,,lll的倾斜角分别为123,,，则由图知321090180，所以123tan0,tantan0，即1230,0kkk．故选：A变式2．（2023·全国·高二专题练习）直线33yx的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】C【解析】直线33yx的倾斜角为，因为直线的斜率为tan3k，0180a鞍?，所以120.故选：C.变式3．（2023·全国·高二课堂例题）过两点4,Ay，2,3B的直线的倾斜角是135°，则y等于（）A．1B．5C．1D．5【答案】D【解析】由斜率公式得33422AByyk，且直线的倾斜角是135°，所以tan1351ABk，即312y，解得5y．故选：D.变式4．（2023·高二课时练习）直线l经过2,1A，21,BmmR两点，那么直线l的斜率的取值范围为（）．A．0,1B．,1C．2,1D．1,【答案】B【解析】2211112lmkm，故那么直线l的斜率的取值范围为,1.故选：B变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数321()3fxxx的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（）A．3π0,4B．π3π0,,π24C．3π,π4D．π3π,24【答案】B【解析】设切线的倾斜角为，则0,π，∵221(1)21fxxxx，∴切线的斜率tan1k，则π3π0,π,24.故选：B【解题方法总结】正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212yykxx，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,xxyy时，直线的斜率不存在，倾斜角为90，求斜率可用tan(90)k，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，90是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在0,,22上的图像来认识．题型二：三点共线问题例4．（2023·全国·高二专题练习）已知三点(2,3),(4,3),5,2k在同一条直线上，则实数k的值为（）A．2B．4C．8D．12【答案】D【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得33(3)24254k，解得12k．故答案为：D.例5．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点0,8A，4,0B，,4Cm共线，则实数m的值是（）A．6B．2C．6D．2【答案】C【解析】因为三点0,8A，4,0B，,4Cm共线，所以ABBCkk，可得：0480044m，即424m，解得6m；故选：C例6．（2023·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（0ab）共线，则11ab的值为（）A．1B．1C．12D．12【答案】C【解析】因为三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（0ab）共线，所以202220ba，即2()abab，所以11ab=12，故选C．变式6．（2023·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（）A．1±2或0B．252或0C．252D．2+52或0【答案】A【解析】由题意知kAB＝kAC，即32++2131aaaa，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选：A．【解题方法总结】斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．题型三：过定点的直线与线段相交问题例7．（2023·吉林·高三校考期末）已知点1,3,2,1AB.若直线:21lykx与线段AB相交,则k的取值范围是（）A．12kB．2kC．12k或2kD．122k【答案】D【解析】由已知直线l恒过定点2,1P,如图所示,若l与线段AB相交,则PAPBkkk,因为311112,12222PAPBkk,所以122k.故选:D.例8．（2023·高三课时练习）已知点2,3M和3,2N，直线:1lyaxa与线段MN相交，则实数a的取值范围是（）A．34a或4aB．344aC．344aD．344a【答案】A【解析】直线l方程可整理为：11yax，则直线l恒过定点1,1P，13412MPk，123134NPk，直线l与线段MN相交，直线l的斜率4a或34a.故选：A.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知2,0A，0,2B，若直线2ykx与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A．1,1B．1,C．0,1D．,11,【答案】C【解析】由于直线2ykx的斜率为k，且经过定点2,0，设此定点为M.而直线MA的斜率为00022MAk，直线MB的斜率为20102MAk，要使直线2ykx与线段AB有公共点，只需01k.故选：C.变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点2,3,3,2AB，若直线20axy与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．54,,23B．45,32C．54,23D．45,,32【答案】B【解析】直线20axy过定点0,2C，且54,23ACBCkk，由图可知直线与线段AB没有交点时，斜率a满足5423a，解得45,32a，故选：B．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线20xaya和以3,5,4,2MN为端点的线段相交，则实数a的取值范围是（）A．1aB．11aC．1a或1aD．1a或1a或0a【答案】C【解析】直线20xaya，即20xay，其恒过定点0,2A，根据题意，作图如下：数形结合可知，当直线过点N时，其斜率取得最小值414，当直线过点M时，其斜率取得最大值1，故111a，解得,11,a