第01讲 直线的方程（练习）（解析版）

第01讲直线的方程（模拟精练+真题演练）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线210kxyk恒过点A，点A也在直线20mxny上，其中,mn均为正数，则mn的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【答案】B【解析】因为210kxyk，则210kxy，令2010xy，解得21xy，即直线210kxyk恒过点2,1A.又因为点A也在直线20mxny上，则220mn，可得22mn，且,0mn，则2222mnmn，即102mn，当且仅当21mn时，等号成立所以mn的最大值为12.故选：B.2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点1,3M在圆22:Cxym上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】D【解析】由题意得134m，当l的斜率不存在时，此时直线方程为1x，与圆22:4Cxy相交，不合题意，当l的斜率存在时，设切线l的方程为31ykx，则2321kk，解得33k，设l的倾斜角为0180，故l的倾斜角为150.故选：D3．（2023·广西·统考一模）直线2yx绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若直线l的倾斜角为，则cos2（）A．35-B．35C．45D．45【答案】D【解析】由题意可得tan1tan(45)21tan，求得tan的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2的值．由题意可知tan1tan(45)21tan，1tan3，222222222211cossin1tan43cos2cossincossin1tan5113，故选：D．4．（2023·河北衡水·校考一模）直线2sin21020xy的倾斜角是A．45B．135C．30D．150【答案】B【解析】由题意得2sin2102sin301k，故倾斜角为135.故选B.5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点0,2A和点10B,为ABC的顶点，则：“ABC的欧拉线的方程为1x”是“点C的坐标为(2,2)”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题知0,2A，10B,必要性：当(2,2)C时,ABBC，根据三线合一知：ABC的欧拉线的方程为1x；充分性：由题知0,2A，10B,，ABC的欧拉线的方程为1x设重心(1,)GGy,点(,)CCCxy,外接圆圆心为O,因为重心为12(,)33CCxyG，即2(1,)3CyG所以2Cx，记,AB中点为1(,1)2M，因为2ABk，O在1x上，设(1,)OOy所以111212OOMyk，所以54Oy，即5(1,)4O,因为2255512,1444COAOCyOA，解得12Cy或2，所以点C为2,2或12,2；所以“ABC的欧拉线的方程为1x”是“点C的坐标为(2,2)”的必要不充分条件，故选：B6．（2023·山东·校联考二模）已知集合,Axyyx，,1Bxyxy，则AB中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为,Axyyx，表示直线yx上的点，又因为1(0,0)1(0,0)|11(0,0)1(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxyxy，所以集合B表示如图所示的正方形ABCD边上的点，所以AB中元素的个数即为直线yx与正方形ABCD的边的交点个数，由图可知直线yx与正方形ABCD的边有2个交点，即AB中元素的个数为2.故选：C.7．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知点4,1A在直线:21150lmxmymmR上的射影为点B，则点B到点3,1P距离的最大值为（）．A．510B．5C．510D．5210【答案】C【解析】将直线l整理得到2150xymxy，于是21050xyxy，解得23xy，所以直线l恒过点2,3C，因为点4,1A在直线:21150lmxmymmR上的射影为点B，所以ABBC，则点B在以线段AC为直径的圆上，该圆的圆心坐标为1,2D，半径大小为22122310，又2213215DP，所以点B到点3,1P距离的最大值为510，故选：C．8．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点1,0A，2,0B与直线:0lmxymmR，若在直线l上存在点P，使得2PAPB，则实数m的取值范围是（）A．33,33B．33,,33C．3,3D．,33,【答案】A【解析】对于直线:0lmxymmR，即1ymx，所以1,0A在直线l上，设,1Ptmt，其中1t，由2PAPB两边平方得224PAPB，即22222211421tmttmt，整理得2221650tmtt，由于10t，所以222222181126511tttttmtt2128111tt，其中101t，根据二次函数的性质可知，当11,213tt时，2128111tt取得最大值，且最大值为13，则210,3m，解得33,33m.故选：A9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程121121yyxxxxyy表示．【答案】ABC【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；当直线的斜率为5πtan14，倾斜角为π4，故选项B不正确；当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；根据直线的两点式方程可知选项D正确，故选：ABC10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知直线2:(1)10laaxy，其中Ra，则（）A．当1a时，直线l与直线0xy垂直B．若直线l与直线0xy平行，则0aC．直线l过定点(0,1)D．当0a时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当1a时，直线l的方程为10xy，其斜率为1，而直线0xy的斜率为－1，所以当1a时，直线l与直线0xy垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线0xy平行，则211aa，解得0a或1a，所以B错误；对于C，当0x时，1y，与a无关，故直线l过定点(0,1)，所以C正确；对于D，当0a时，直线l的方程为10xy，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．11．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点2,3A，3,2B，斜率为k的直线l过点1,1P，则下列满足直线l与线段AB相交的斜率k取值范围是（）A．34kB．4kC．40kD．304k【答案】AB【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，作出,,ABP点，如图，当直线l与线段AB相交时，123134PBkk，13412PAkk，所以，斜率k取值范围是34k或4k.故选：AB12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A．已知点3(2,)A，(3,2)B，若直线(1)1ykx与线段AB有交点，则34k或4kB．1m是直线1l：10mxy与直线2l：220mxmy垂直的充分不必要条件C．经过点1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为20xyD．已知直线1l：10axy，2l：10xay，Ra，和两点(0,1)A，(1,0)B，如果1l与2l交于点M，则MAMB的最大值是1.【答案】ABD【解析】对于A，∵直线(1)1ykx过定点(1,1)P，又点3(2,)A，(3,2)B，∴131234,12134PAPBkk，如图可知若直线(1)1ykx与线段AB有交点，则4,PAkk或34PBkk，故A正确；对于B，由直线1l：10mxy与直线2l：220mxmy垂直得，(2)0mmm，解得0m或1m，故1m是直线1l：10mxy与直线2l：220mxmy垂直的充分不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为xy，当直线不过原点时，可设直线为1xyaa，代入点1,1，得2a，所以直线方程为20xy，故经过点1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为20xy或xy，故C错误；对于D，∵直线1l：10axy，2l：10xay，又110aa，所以两直线垂直，∴2222MAMBAB，∴2212MAMBMAMB，当且仅当MAMB时取等号，故D正确.故选：ABD13．（2023·全国·高三专题练习）经过点3,4B，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为；【答案】10xy或70xy．【解析】由题意，可知所求直线的斜率为1．又过点3,4B，由点斜式得4310yxxy或70xy．故答案为：10xy或70xy14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线:2130laxaya在x轴上的截距的取值范围是3,3，则其斜率的取值范围是．【答案】12k或1k.【解析】由直线:2130laxaya得：320xyaxy，令3020xyxy，解得1,2xy，所以直线l过点1,2A，由题知，在x轴上的截距取值范围是3,3，如图：所以端点处直线的斜率分别为202011,13132，所以12k或1k；故答案为：12k或1k.15．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设11,Mxy，22,Nxy为不同的两点，直线l的方程为0axbyc++=，设1122axbycaxbyc．有下列三个说法：①存在实数，使点N在直线l上；②若1，则过MN两点的直线与直线l平行；③若1，则直线l经过线段MN的中点．上述所有正确说法的序号是．【答案】②③【解析】对于①，因为1122axbycaxbyc，所以220axbyc，所以点22,Nxy不可能在直线l上，错误．对于②，因为1，所以11220axbycaxbyc，所以1122axbyaxby，若12xx，则12yy，不合题意，故12xx，所以2121yyaxxb，所以直线MN的方程为1