第02讲 两条直线的位置关系（练习）（解析版）

第02讲两条直线的位置关系（模拟精练+真题演练）1．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设点,Pxy满足0axbyc++=，则“2ba”是“2221xyxy为定值”的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若22212221555xyxyxyxy为定值，即点,Pxy到直线220210xyxy，两条直线距离之和为定值，显然，这两条直线平行，如图，所以当点,Pxy在与这两条直线平行的直线上时，此时直线0axbyc++=满足0ab且2ba，即2ba，且0,0ab，2221xyxy为定值，所以“2ba”是“2221xyxy为定值”的必要不充分条件.故选：B2．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线230xy与420xya之间的距离为5，则a的值为（）A．4B．56C．4或16D．8或16【答案】C【解析】将直线230xy化为4260xy，则直线230xy与直线420xya之间的距离|(6)||6|16425aad，根据题意可得：|6|525a，即|6|10a，解得4a或16a，所以a的值为4a或16a.故选：C3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）若3iizz，复数z与z在复平面内对应的点分别为,AB，则AB（）A．2B．22C．3D．4【答案】A【解析】由3i3iiizzzz，所以21i1iz，所以1iz，故z与z在复平面内对应的点分别为1,1,1,1AB，所以2211112AB，故选：A.4．（2023·人大附中校考三模）若两条直线1:2lyxm，2:2lyxn与圆2240xyx的四个交点能构成正方形，则mn（）A．45B．210C．22D．4【答案】B【解析】由题设知：12ll//，要使A，B，C，D四点且构成正方形ABCD，∴正方形的边长等于直线1l、2l的距离d，则||5mnd，若圆的半径为r，2240xyx，即2224xy，则2r，由正方形的性质知：222dr，∴||225mn，即有210mn.故选：B.5．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知圆22:228Cxy，从圆心C射出的光线被直线0xy反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．12或12B．22或22C．23或23D．212或212【答案】C【解析】圆22:228Cxy，圆心为2,2C，设圆心2,2C关于直线0xy的对称点为,Cmn，则21222022mnmn，解得22mn，即2,2C，设反射光线所在的直线斜率为k，则反射光线所在的直线方程为220kxyk，因为反射光线恰好与圆C相切，所以244221kk，整理得2410kk，解得23k或23k.故选：C．6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）直线1:11lxayaaR，直线21:2lyx，给出下列命题：①Ra，使得12//ll；②Ra，使得12ll；③Ra，1l与2l都相交；④Ra，使得原点到1l的距离为2.其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④【答案】C【解析】对于①，若12//ll，则111210aa，该方程组无解，①错；对于②，若12ll，则11112a，解得32a，②对；对于③，当1a时，直线1l的方程为20xy，即12yx，此时，1l、2l重合，③错；对于④，直线1l的方程为110xaya，若aR，使得原点到1l的距离为2，则21211aa，整理可得231070aa，Δ1004370，方程231070aa有解，④对.故选：C.7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点11,Pxy，22,Qxy的曼哈顿距离为1212,DPQxxyy.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形ABC的三个顶点坐标为2,4A，8,2B，12,10C，则ABC的“好点”的坐标为（）A．2,4B．6,8C．0,0D．5,1【答案】B【解析】对于A，设2,4P，则,22440,,284280DPADPB，所以点2,4不是ABC的“好点”；对于B，设6,8P，则,62848,,68828DPADPB，,6128108DPC，所以,,,DPADPBDPC，所以点6,8是ABC的“好点”；对于C，设0,0P，则,02046,,0802106DPADPB，所以点0,0不是ABC的“好点”；对于D，设5,1P，则,52146,,581246DPADPB，所以点5,1不是ABC的“好点”.故选：B.8．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知点2,0,,ABC分别为直线,,,0ymxynmnmnR上的动点，若0ABBC，则ABACuuuruuur的最小值为（）A．2nB．mnC．2241mmD．41mnmn【答案】C【解析】因为0ABBC，由22ABACABABBCABABCBBAuuuruuuuuuuruuuruurruuruuuururuuuuru且点2,0A，B为直线ymx上的动点，则minAB即为点A到直线ymx的距离，所以2min21mABm，则222min41mABm，故选:C9．（多选题）（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）设直线系:cossin12sin(02π)Mxy，下列命题中的真命题有（）A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数(3)nn，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】BC【解析】由题知，点(0,2)P到M中每条直线cos(2)sin1xy的距离2211cossind，即M为圆22:(2)1Cxy的全体切线组成的集合，从而M中存在平行的直线，所以A错误；又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以B正确；对任意3n，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确；M中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.故选：BC10．（多选题）（2023·江苏南通·海安高级中学校考二模）已知直线l过点3,4，点2,2A，4,2B到l的距离相等，则l的方程可能是()A．220xy-+=B．220xyC．23180xyD．2360xy【答案】BC【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为43ykx，即430kxyk，∵点2,24,2AB，到直线的距离相等，222243424311kkkkkk，解得23k，或2k，当23k时，直线l的方程为2433yx，整理得23180xy，当2k时，直线l的方程为423yx，整理得220.xy综上，直线l的方程可能为23180xy或220xy故选：BC．11．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）（多选）曲线2cos3xyex在点()0,1处的切线与其平行直线l的距离为5，则直线l的方程可能为（）A．26yxB．24yxC．31yx=+D．34yx【答案】AB【解析】由题设，y′＝e2x(2cos3x－3sin3x)，∴y′|x=0＝2，则所求的切线方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则|1|55b，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.故选：AB12．（多选题）（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知直线l1：(sin)(cos)10xy，l2：(sin)(cos)10xy，l3：(cos)(sin)10xy，l4：(cos)(sin)10xy.则（）A．存在实数α，使l1l2，B．存在实数α，使l2l3；C．对任意实数α，都有l1⊥l4D．存在点到四条直线距离相等【答案】ACD【解析】当0时，1212:1,:1,lylyll∥，故选项A正确；2sinsincos10，所以2l与3l不平行，故选项B错误；sincoscossin0恒成立，14ll，故选项C正确；坐标原点0,0到四条直线距离均为1，故选项D正确.故选：ACD.13．（多选题）（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）著名科学家笛卡儿根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了3330xyaxy的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡儿叶线”（或者叫“叶形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字——茉莉花瓣曲线．已知曲线G：3360xyxy，则（）A．曲线G关于直线y＝x对称B．曲线G与直线x－y＋1＝0在第一象限没有公共点C．曲线G与直线x＋y－6＝0有唯一公共点D．曲线G上任意一点均满足x＋y＞－2【答案】ACD【解析】对于A，将(,),(,)abba代入3360xyxy，有3360abab都成立，即曲线G关于直线yx对称，故A对；对于B，将10xy代入曲线得33(1)6(1)0xxxx，即3223310xxx，令32()2331fxxxx，且0x，则2()3221fxxx，由()0fx，解得132x，在130,2上，()0,()fxfx递减，在13,2上，()0,()fxfx递增，又(0)10,3190ff，而13331022f，所以()fx在(0,)上有两个零点，故B错；对于C，将60xy代入曲线得33(6)6(6)0xxxx，即2269(3)0xxx，所以3xy，即曲线G与直线60xy有唯一公共点(3,3)，故C对；对于D，设xyt，代入曲线得33()6()0xtxxtx，即233(2)3(2)0txttxt，当20t，即2t时，代入得0t，矛盾，故2t，所以2239(2)12(2)0tttt，即2(2)(6)0ttt，解得26t，又2t，所以26t，故D对.故选：ACD.14．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列na是等差数列，p，q，s，t是互不相同的正整数，且pqst，若在平面直角坐标系中有点,sAsa，,pBpa，,qCqa，,tDta，则下列选项成立的有（）A．22tptqsaaaaatptqsB．ABCDC．直线AB与直线CD的斜率相等D．直线AC与直线BD的斜率不相等【答案】ABC【解析】由题设pqstaaaa，且pqst，又na是等差数列，若公差为d，22